Вычисление объемов многогранников

[Almazov]

Определение объемов многогранников (не обязательно правильных) по известным расстояниям между вершинами.

Можно ли с помощью определителя матрицы этих расстояний определить объем ЛЮБОГО многогранника, кроме тетраэдра(Определитель Кэли-Менгера)?Приведите, пожалуйста, примеры. Заранее спасибо!

[alcoholist]

Almazov в сообщении #464851 писал(а):

Можно ли с помощью определителя матрицы этих расстояний определить объем ЛЮБОГО многогранника

нельзя... дело в том, что четырехвершинник в трехмерном пространстве либо плоский, либо выпуклый (в любом случае объем определен однозначно). А 100-вершинников (без самопересечений) с одинаковыми попарными расстояниями -- дофига

[Almazov]

А есть такие определители для правильных многогранников(кроме тетраэдра)?

[alcoholist]

Almazov в сообщении #464861 писал(а):

А есть такие определители для правильных многогранников(кроме тетраэдра)?

вручную... уж коли они правильные)

[Almazov]

alcoholist в сообщении #464862 писал(а):

Almazov в сообщении #464861 писал(а):

А есть такие определители для правильных многогранников(кроме тетраэдра)?

вручную... уж коли они правильные)

Очень смешно! А то я не знаю этих стандартных формул! Хочется чего-то более экзотичного)))))))))

Да и потом: объем многогранника в любом случае зависит от длины его ребер.Тут явно есть какая-то закономерность. Хотелось бы узнать какие-либо обобщения и формулы, поясняющие эту зависимость.

[VAL]

alcoholist в сообщении #464858 писал(а):

А 100-вершинников (без самопересечений) с одинаковыми попарными расстояниями -- дофига

Откуда такая информация?
Мне представляется очевидным, что попарными расстояниями между вершинами многогранник задается однозначно. Причем с избытком.
Доказывается по индукции.

[Vince Diesel]

Almazov в сообщении #464865 писал(а):

Да и потом: объем многогранника в любом случае зависит от длины его ребер.Тут явно есть какая-то закономерность. Хотелось бы узнать какие-либо обобщения и формулы, поясняющие эту зависимость.

Есть изгибаемые многогранники, которые можно непрерывно деформировать, причем каждая грань в процессе деформации сохраняет форму. В частности, расстояния между точками одной грани сохраняются. Теорема Сабитова гласит, что любой изгибаемый многогранник в процессе деформации сохраняет свой объем.

[alcoholist]

Если я правильно понял доклад Сабитова (лет 6 назад), то объем, ограниченный многогранником, является корнем многочлена, коэффициентами которого являются алгебраические функции длин сторон.

[Nilenbert]

VAL в сообщении #464970 писал(а):

Мне представляется очевидным, что попарными расстояниями между вершинами многогранник задается однозначно. Причем с избытком.
Доказывается по индукции.

Ну вот два многогранника с одними и теми же вершинами.

[Almazov]

Vince Diesel в сообщении #465036 писал(а):

Almazov в сообщении #464865 писал(а):

Да и потом: объем многогранника в любом случае зависит от длины его ребер.Тут явно есть какая-то закономерность. Хотелось бы узнать какие-либо обобщения и формулы, поясняющие эту зависимость.

Есть изгибаемые многогранники, которые можно непрерывно деформировать, причем каждая грань в процессе деформации сохраняет форму. В частности, расстояния между точками одной грани сохраняются. Теорема Сабитова гласит, что любой изгибаемый многогранник в процессе деформации сохраняет свой объем.

Речь не о сохранении объема, а о зависимости его величины от длины ребер.

[Vince Diesel]

Тогда смотрите работы Сабитова. Как указал alcoholist, объем - это корень некоторого многочлена, коэффициенты которого... Если степень этого многочлена может быть выше четырех, то, вероятно, объем может не выражаться через элементарные функции от длин ребер.

[VAL]

Nilenbert в сообщении #465165 писал(а):

VAL в сообщении #464970 писал(а):

Мне представляется очевидным, что попарными расстояниями между вершинами многогранник задается однозначно. Причем с избытком.
Доказывается по индукции.

Ну вот два многогранника с одними и теми же вершинами.

Картинки не отображаются :(
Хотя мысль ясна: попарные расстояния между вершинами позволяют с точностью до движения восстановить положение вершин, но не сам многогранник. Это имелось в виду?

[Nilenbert]

VAL в сообщении #465180 писал(а):

Хотя мысль ясна: попарные расстояния между вершинами позволяют с точностью до движения восстановить положение вершин, но не сам многогранник. Это имелось в виду?

Да, это имелось в виду. Нt знаю, я проверял, картинки должны отображаться.

[Almazov]

Киньте кто-нить ссылки на работы Сабитова, а то гугль нифига не находит.

[Vince Diesel]

Ищется на раз: статьи, книжка.