Минимальная энергия частицы в потенциальной яме

[venco]

ewert в сообщении #463774 писал(а):

venco в сообщении #463765 писал(а):

Зеркальная пластина взаимодействует с ЭМ полем,

Да нет там никакого ЭМ поля, задача просто тривиально не поставлена.

А как же фотоны в яме?

[nikokis]

ewert в сообщении #463774 писал(а):

Да нет там никакого ЭМ поля, задача просто тривиально не поставлена.

Ящик в форме прямоугольного параллелепипеда с отражающими изнутри стенками, в одном из направлений организована стоячая ЭМ-волна, первая мода. Через щель в боковой поверхности перпендикулярно направлению стоячей волны вводится двустророннее зеркало до тех пор, пока резонатор не будет разделён пополам. Будет ли затрачена энергия на этот процесс?

[obar]

По поводу возрастания энергии частицы.
Если перегородка достаточно высокая, то появляется возможность говорить о локализации частицы в одной из половин ямы (левой или правой). Точнее говоря, такое состояние (частица в одной из половин) является квазистационарным с экспоненциально большим временем жизни. В силу соотношения неопределенности $\Delta p\Delta x\sim\hbar$ импульс частицы возрастает вдвое (в силу уменьшения вдвое $\Delta x$), а энергия увеличивается в 4 раза. На создание такой ямы, конечно же, потребуются затраты энергии.

[ewert]

obar в сообщении #463886 писал(а):

Если перегородка достаточно высокая, то появляется возможность говорить о локализации частицы в одной из половин ямы (левой или правой). Точнее говоря, такое состояние (частица в одной из половин) является квазистационарным с экспоненциально большим временем жизни.

Нет. Там будут обычные стационарные состояния, просто низкоэнергетические будут двукратно "квазивырождены", т.е. расстояния между ними будут близки к нулю. Никакой локализации в половинах ям, естественно, не появится: в силу сохранившейся симметрии состояния так и будут разделяться на чётные и нечётные.

[obar]

ewert в сообщении #463903 писал(а):

Нет. Там будут обычные стационарные состояния, просто низкоэнергетические будут двукратно "квазивырождены"

Есть такое понятие - квазистационарные состояния (см., например, Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов А.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике). В данной задаче эти состояния определяются так: в начальный момент времени частица находится в одной из половин ямы (в.ф. вне этой половины равна нулю). Это состояние существует в течение некоторого характерного времени, экспоненциально зависящего от высоты барьера. Затем происходит "распад" квазистационарного состояния - в.ф. перераспределяется между двумя половинками ямы, состояние переходит в стационарное.

[ewert]

obar в сообщении #464588 писал(а):

Есть такое понятие - квазистационарные состояния

Нет. Квазистационарные состояния -- это резонансы, т.е. точки на непрерывном спектре, вблизи которых (на "нефизическом" листе) находятся полюса резольвенты. В данной же задаче спектр чисто дискретен. Он был бы непрерывен (и, соответственно, в нём появились бы подобные резонансы), если бы стенки были очень высокими, но конечными. А в данной идеализированной задаче -- нет.

-- Вс июл 03, 2011 12:49:20 --

Да, а что касается "движения" частицы, локализованной в одной половине ямы (в случае, когда боковые стенки бесконечны, а центральная всего лишь очень высока), то оно будет происходить так. Каждой паре близких уровней $E_1,E_2$ будет отвечать соответствующая пара собственных функций $\psi_1(x),\psi_2(x)$: нижнему из уровней -- чётная и верхнему -- нечётная. При этом $\psi_1(x)\approx\psi_2(x)$ в одной половине ямы (вне малой окрестности центра) и $\psi_1(x)\approx-\psi_2(x)$ в другое половине. Если теперь взять смешанное состояние $\psi_0(x)=\psi_1(x)+\psi_2(x)$ (ну с соответствующей нормировкой, конечно), то оно будет практически сосредоточено в одной из половин. Эволюционировать же со временем оно будет как $\psi(x,t)=e^{iE_1t}\psi_1(x)+e^{iE_2t}\psi_2(x)$. Фазовый множитель для верхнего уровня будет с ростом времени чуть-чуть (поскольку уровни очень близки) опережать множитель для другого. Рано ли поздно сдвиг фаз достигнет $\pi$, т.е. сложение $\psi_1$ и $\psi_2$ превратится в их вычитание и, значит, частица окажется локализованной в другой половине. Потом она вернётся в первую и так и будет бегать из одной половинки в другую. Чем выше барьер в центре, тем меньше расстояние между уровнями и, следовательно, тем медленнее частица перетекает из одной половины ямы в другую.