Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых

[nnosipov]

Батороев в сообщении #464368 писал(а):

Если $2x^4$ делится нацело на $y^2$, где $y=y_1^2$, то $2\dfrac {x^4}{y_1^4}=2z^4$. С этим Вы согласны?

Да, с этим согласен. Сделав замены $y=y_1^2$ и $x=y_1z$, мы получим (после сокращения на $y_1^4$) уравнение $2z^4-y_1^3z+y_1^2-1=0$. Выше оно уже было, но в других обозначениях. Вот что с ним делать-то?

[Батороев]

Все! Понял, где ошибка.

Снимаю свое решение и извиняюсь, что долго тупил! :(

-- 02 июл 2011 23:36 --

nnosipov в сообщении #464387 писал(а):

Сделав замены $y=y_1^2$ и $x=y_1z$, мы получим (после сокращения на $y_1^4$) уравнение $2z^4-y_1^3z+y_1^2-1=0$. Выше оно уже было, но в других обозначениях. Вот что с ним делать-то?

Отметим, что $y_1$ и $z$ взаимно просты.

$y_1^2-1=z(y_1^3-2z^3)$

Откуда в виду взаимной простоты $z$ и $y_1^3-2z^3$ имеем:
-либо:
$z= y_1+ 1$
$y_1^3-2z^3=y_1-1$

-либо:
$z=y_1-1$
$y_1^3-2z^3=y_1+1$

[nnosipov]

Батороев в сообщении #464395 писал(а):

Отметим, что $y_1$ и $z$ взаимно просты.

$y_1^2-1=z(y_1^3-2z^3)$

Откуда в виду взаимной простоты $z$ и $y_1^3-2z^3$ имеем:
-либо:
$z= y_1+ 1$
$y_1^3-2z^3=y_1-1$

-либо:
$z=y_1-1$
$y_1^3-2z^3=y_1+1$

Э, нет, этот фокус не пройдёт. Попробуйте сами найти ошибку в своих рассуждениях.

[juna]

juna в сообщении #464198 писал(а):

по поводу $x=8d$ я ошибся

Нет, не ошибся.
$2\cdot k\cdot z^3-z^2+1=32\cdot k^4$
$2k\cdot (z^3-16\cdot k^3)=(z-1)(z+1)$, поскольку $z$ - нечетно, то $(z-1)(z+1)=2d(2d+2)=4d(d+1)$, т.е. $k$ делится на $4$, значит $x$ на 8.
Кроме того, $k|m$:
$y^2\cdot (y-1)=x\cdot (y^3-2x^3)$,
$y=z^2=2m+1,x=2kz$,
$z^4\cdot 2m=2kz(z^6-2\cdot (2kz)^3)$
$m=k(z^3-2^4\cdot k^3)$, т.е. $y$ - нечетный квадрат вида $8\cdot l+1$

[Батороев]

Согласен, погорячился. В правой части могут быть составные числа, перераспределив множители которых, можно получить два числа с разностью 2 другим способом.

[nnosipov]

juna в сообщении #464564 писал(а):

juna в сообщении #464198 писал(а):

по поводу $x=8d$ я ошибся

Нет, не ошибся.
$2\cdot k\cdot z^3-z^2+1=32\cdot k^4$
$2k\cdot (z^3-16\cdot k^3)=(z-1)(z+1)$, поскольку $z$ - нечетно, то $(z-1)(z+1)=2d(2d+2)=4d(d+1)$, т.е. $k$ делится на $4$, значит $x$ на 8.
Кроме того, $k|m$:
$y^2\cdot (y-1)=x\cdot (y^3-2x^3)$,
$y=z^2=2m+1,x=2kz$,
$z^4\cdot 2m=2kz(z^6-2\cdot (2kz)^3)$
$m=k(z^3-2^4\cdot k^3)$, т.е. $y$ - нечетный квадрат вида $8\cdot l+1$

juna, почему бы Вам всё это не написать в Вашем предыдущем сообщении (т.е. просто переписать это предыдущее сообщение заново, а это сообщение удалить)? А так приходится лезть в оба этих сообщения, чтобы понять, о чём речь (здесь, например, у Вас фигурирует буква $m$, а что она обозначает, здесь не напоминается). Тем более у каждого автора свои обозначения. Было бы удобней иметь дело с логически завершёнными частями доказательства, если бы они были собраны в одном месте.

[juna]

(Оффтоп)

Удалить сообщение после ответа оппонента нельзя, я дополнил то сообщение.

[nnosipov]

Итак, доказано, что в уравнении $2x^4-xy^3+y^3-y^2=0$ натуральное $x$ должно быть кратно $8$, а натуральное $y$ является квадратом нечётного числа (и потому $y \equiv 1 \pmod{8}$). Кроме того, само уравнение сведено к уравнению типа $2x_1^4-x_1y_1^3+y_1^2-1=0$ (в самых разных обозначениях и вариантах). И это не так уж и мало!

[nnosipov]

А что, господа, не написать ли мне решение какой-нибудь из этих задач? А то ещё подумаете, что я вам кота в мешке предлагал Самое смешное, в решении этих задач самой теории чисел --- кот наплакал.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Я был бы рад. Уже терпения не хватает

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #469288 писал(а):

(Оффтоп)

Я был бы рад. Уже терпения не хватает

(Оффтоп)

А давайте я Вам это ЛС оформлю. Минут эдак через несколько получите. Ну вот, уже и отправил.

[juna]

(Оффтоп)

Дополнил сообщение #464198

[nnosipov]

juna в сообщении #464198 писал(а):

Перепишем:
$y\cdot (y+1)\cdot (y-1)=x\cdot (y^3-2\cdot x^3)$

Да, но это не то уравнение, которое мы решаем. Если раскрыть скобки и перенести в одну часть, то будет $2x^4-xy^3+y^3-y=0$ (а у нас уравнение $2x^4-xy^3+y^3-y^2=0$, и для него мы показали, что $y=z^2$). Для Вашего нового уравнения мы уже не можем утверждать, что $y$ есть точный квадрат.

[juna]

Пардон, за давностью лет забыл, что мы там решали...

[juna]

Чтобы опять не забыть: $2x^4-xy^3+y^3-y^2=0$.
Зажмем $y$ следующим образом:
$xy^3-2x^4<y^3\to y<\left ( \frac {2x^4}{x-1} \right )^{\frac{1}{3}}=f_1(x)$.
Значит $2x^4-xy^3+y^3-\left ( \frac {2x^4}{x-1} \right )^{\frac{2}{3}}<0\to y>\left ( \frac {2x^4-\left ( \frac {2x^4}{x-1} \right )^{\frac{2}{3}}}{x-1} \right )^{\frac {1}{3}}=f_2(x)$
Далее нужно как-то обосновать, что, начиная с некоторого $x$, целая часть $f_1(x), f_2(x)$ остается одинаковой, или во всяком случае в таких узких границах, начиная с некоторого $x$ не может содержаться целое число (как сие обосновать и верно ли это, пока неясно).