Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.

[olenellus]

(Оффтоп)

Надо же, с удивлением обнаружил, что уже зарегистрирован на этом форуме...

В Верещагине и Шене "Начало теории множеств" встретил два определения упорядоченной пары.
По Куратовскому (изменил треугольные скобки на круглые):
$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$

По Винеру:
$(x,y)=\{\{\varnothing,\{x\}\},\{\{y\}\}\}$

Вроде бы, всё хорошо - оба выражения удовлетворяют определению (данному там же):
$(x_1,y_1)=(x_2,y_2)\;\Leftrightarrow\;x_1=x_2, y_1=y_2$

Проблемы у меня начинаются, когда я пытаюсь находить мощности. Например, найдём мощность множества $\varnothing\times\varnothing$. С наивной точки зрения ясно, что $\varnothing\times\varnothing=\varnothing$, так как множество упорядоченных пар элементов из двух пустых множеств пусто. Соответственно, для мощностей получается привычная формула $0\cdot{0}=0$.

Теперь попробуем через упорядоченные пары по Куратовскому:
$\{\varnothing,\varnothing\}=\{\varnothing\}$, и, соответсвтенно, $0\cdot{0}=1$

По Винеру не лучше:
$\{\{\varnothing,\varnothing\},\{\varnothing\}\}=\{\{\varnothing\}\}$, ну и опять ноль на ноль даёт единицу.

Теперь смотрю, сколько будет $0\cdot{1}$, где $1=|\{\varnothing\}|$. Опять строю упорядоченную пару как элемент множества $\varnothing\times\{\varnothing\}$.
По Куратовскому:
$\{\varnothing,\varnothing\}=\{\varnothing\}$ и $0\cdot{1}=1$
По Винеру:
$\{\{\varnothing,\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}\}=\{\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}\}$ и $0\cdot{1}=2$

Ясно, что у меня проблемы где-то в самом фундаменте, но не соображу, где.

[bnovikov]

По-моему, ошибка в том, что Вы считаете $\emptyset$ элементом множества $\emptyset$.

[olenellus]

Вроде бы, нет. Давайте, я подробно опишу, как я получил $0\cdot{0}=1$ по Куратовскому.
Итак, имем декартово произведение двух пустых множеств, то есть множество всех упорядоченных пар, первый элемент из которой пренадлежит первому множеству, а второй - второму. Интуитивно ясно, что таких пар нет ни одной. Поэтому искомое произведение множеств само является пустым. Однако же проверим, что получается по формуле $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$. Разберёмся с первым элементом этого множества. Так как в пустом множестве нет ни одного элемента, то $\{x\}=\varnothing,x\in\varnothing$ (чую, что вот здесь у меня как раз ошибка). Точно так же делаю вывод, что $\{x,y\}=\varnothing,x\in\varnothing,y\in\varnothing$. Поэтому упорядоченной парой получается одноэлементное множество $\{\varnothing\}$.

Кстати, я ошибся в первом сообщении. По Винеру у меня должно тоже получится $0\cdot{1}=1$, а не $0\cdot{1}=2$, так как пара существует, но одна, а то, что она является двухэлементным множеством, неважно.

[BapuK]

пар просто не будет, т.к. вы не можете выбрат ни одного элемента из пустого множества

[bnovikov]

olenellus в сообщении #464550 писал(а):

Однако же проверим, что получается по формуле $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$. Разберёмся с первым элементом этого множества. Так как в пустом множестве нет ни одного элемента, то $\{x\}=\varnothing,x\in\varnothing$

$\{x\}$ - это одноэлементное множество, поэтому
$\{x\}\ne\varnothing$.

[olenellus]

BapuK в сообщении #464551 писал(а):

пар просто не будет, т.к. вы не можете выбрат ни одного элемента из пустого множества

А что значит "выбрать"? Это значит, использовать какую-то функцию? Но ведь для самого понятия функции уже нужны упорядоченные пары.

bnovikov в сообщении #464552 писал(а):

$\{x\}$ - это одноэлементное множество, поэтому $\{x\}\neq\varnothing$.

Правильно ли я понимаю, что $\{x\}:x\in\varnothing$ не сущетсвует (является ложью), так как это утверждение о том, что в пустом множестве содержится хотябы один эелемент. Но как это правильно формализовать? Может, я не с той книжки начал?

[BapuK]

ну давайте так попробуем:
$A\times B=\{\{\{x\},\{x,y\}\}\mid x\in A, y\in B\}$
Положим $A=B=\varnothing$, но условиям $x, y\in\varnothing$ не удовлетворяет ни одного элемента, следовательно множество $\varnothing\times\varnothing$ -- пустое.

[bnovikov]

olenellus в сообщении #464554 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $\{x\}:x\in\varnothing$ не сущетсвует (является ложью), так как это утверждение о том, что в пустом множестве содержится хотя бы один эелемент. Но как это правильно формализовать? Может, я не с той книжки начал?

Раз Вы согласились с тем, что в пустом множестве нет элементов , то теперь должны признать, что у Вас нет ни одной пары.

BapuK в последнем письме говорит о том же.

По поводу книг не берусь советовать, слишком давно читал о множествах.

[olenellus]

BapuK, так уже понятнее. Спасибо!