Ряды

[Praded]

А пишете что?

[alex1910]

ИСН в сообщении #464362 писал(а):

Пока что рандомизатор (который кидает монетку и в зависимости от этого говорит "сходится" или "расходится") Вас в среднем опережает. Тут много всего; с какого примера начнём? 1, 2, 3, или какой-нибудь из непронумерованных?

Так это же хорошо - значит человек думал! :)

[Impi]

ага знак потеряла(
$ F'(x)= \frac{3}{4} \frac {1}{\sqrt[4]{(3x+4)^3}}=\frac{3}{4} $
$ F''(x)=\frac{27}{16} \frac {1}{\sqrt[4]{(3x+4)^7}}=-\frac{27}{16}$
$ F''(x)=\frac{243}{64} \frac {1}{\sqrt[4]{(3x+4)^{11}}}=\frac{243}{64} $

$ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k{\frac{3^{k-1}}{4^{k-1}} \over k!} (x + 1)^k $

-- Сб июл 02, 2011 22:30:00 --

Impi в сообщении #464475 писал(а):

А чередования знаков не будет?

Praded в сообщении #464477 писал(а):

А пишете что?

формулы, я пишу, медленно, на этом сайте запись ^()/* не катит.

[ИСН]

Третью производную как брали?

[Impi]

$ F'(x)= \frac{3}{4} \frac {1}{\sqrt[4]{(3x+4)^3}}=\frac{3}{4} $
$ F''(x)=\frac{27}{16} \frac {1}{\sqrt[4]{(3x+4)^7}}=-\frac{27}{16}$
$ F'''(x)=\frac{567}{64} \frac {1}{\sqrt[4]{(3x+4)^{11}}}=\frac{567}{64} $
$F''''(x) = -\frac{18711}{256}$

только вот закономерность потеряла(

Числитель умножается на 3ку из под корня и на степень, степень каждый раз увеличивается на 4...хотч..
$ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k{\frac{3+(4(k-1))}{4^{k-1}} \over k!} (x + 1)^k $

[ИСН]

Ну так и для чего же Вы пишете общую закономерность, если она больше не выполняется?

[Impi]

ИСН в сообщении #464488 писал(а):

Ну так и для чего же Вы пишете общую закономерность, если она больше не выполняется?

случайно отослалось) сидела думала над ней как раз))

[ИСН]

А там нечего думать: она не упростится и не свернётся никуда, а так и будет.

[Impi]

дак правильная?)) хотя я уже не уверена))

[ИСН]

кто правильная?

-- Вс, 2011-07-03, 00:13 --

(моё "она" относилось к последовательности коэффициентов, если что)

[Impi]

Impi в сообщении #464485 писал(а):

$ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k{\frac{3+(4(k-1))}{4^{k-1}} \over k!} (x + 1)^k $

[ИСН]

ох, ну подставьте k=1. и что? сошлось? а 2?

[Impi]

ИСН в сообщении #464493 писал(а):

она не упростится и не свернётся никуда, а так и будет.

а как вы её выводите, по какому правилу? я пытаюсь искать закономерности в ряду в получившемся ряду
$1+ \frac{3}{4}-\frac{27}{16}+\frac{567}{64}-\frac{18711}{256}+...$
видно что знаменатель это $4^k$
а числитель это начальная степень числа..

-- Вс июл 03, 2011 08:14:53 --

$ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k{\frac{{4k-1}}{4^k} \over k!} (x + 1)^k $
Хотя нет, вроде получилось, проверьте.

-- Вс июл 03, 2011 08:55:05 --

Пока вас нет, вернулась к первому примеру, досчитать

ИСН в сообщении #464402 писал(а):

надо разбивать его на сумму двух рядов и рассматривать те отдельно.

Impi в сообщении #464455 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{4}{2^{2n+2}} +\frac{2}{2^{2n-1+2}})$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{4}{2^{2n+2}} +\frac{2}{2^{2n-1+2}})$
вначале смотрела первое
$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{4(2^{2n+3)}}{42^{(2n+2)}}}=\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{4(2^{2n})(2^3)}{4(2^{2n})(2^2)}}=2$

$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{2(2^{2n-1+2+1})}{2(2^{2n-1+2})}}= \lim\limits_{n \to \infty}{\frac{2(2^{2n})(2^2)}{2(2^{2n})(2^1)}}=2$
то есть ряд расходится..

[Impi]

Impi в сообщении #464357 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{e^{\sqrt{n}}}}$
то что предел стремиться к 0 и так понятно
дальше делаю по Коши
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{{\frac{1}{e^{\sqrt{n}}}}}= \frac{1}{e}$
значит по идее расходится

а если так попробовать?
$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1}{e^{\sqrt{n}}}}= \lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1}{e^n}}$
можно же возвести в степень n весь предел?
тогда дальше получится
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{{\frac{1}{e^n}}}= \frac{1}{e}$

$\frac{1}{e}=0,37$=> ряд сходится

[tavrik]

Не хочу вмешиваться в педагогический процесс но, по моему, первый пример обычно приводят как пример подвида рядов к которым:
"не применим признак Дэламбера - но применим признак Коши".
Признак Дэламбера чувствителен к "скачкАм", поэтому его сбивает с толку $-1$ в степени.
Признак Коши $+$ правило двух миллиционеров/сэндвич(на американский манер) должно сработать. Хотя многие разбивают с успехомн а сумму/разницу двух рядов(у меня сегодня был такой $\sum{(-1)^{n+1}\frac{n!(e^n-n)}{n^n}}$)
но и в этом методе есть минус - в случае если оба слагаемых ряда расходятся ничего нельзя сказать о первоначально заданном.
Поэтому Коши вроде как "сильнее Дэламбера" хотя это фигня, есть обратные примеры когда Коши не работает или вычисление этого признака очень затруднено(например, если появляются факториалы).