Ряды

[Impi]

Пытаюсь подготовиться к экзамену, решаю сфотканные билеты))точнее пытаюсь решить их))
Исследовать ряды на сходимость:
1. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{3 + (-1)^n}{2^{n+2}}}$
получилось
$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{3 + (-1)^n}{2^{n+2}}}=0$
дальше по Даламберу
$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{3 + (-1)^{n+1}}{2^{n+3}}}=0$
значит ряд сходится
2.$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{n!^2}{(3^n+1)(2n)!}}$
$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{n!^2}{(3^n+1)(2n)!}}={\frac{n!n!}{3(3^n+1)!n!}}={\frac{n!}{3(3^n+1)!}}=$а что с ним дальше делать( чему равно "так" - не вижу? если и равно , то скажите почему)
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{e^{\sqrt{n}}}}$
то что предел стремиться к 0 и так понятно
дальше делаю по Коши
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{{\frac{1}{e^{\sqrt{n}}}}}= \frac{1}{e}$
значит по идее расходится
3. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{\ln(1+n)^{3^n}}}$
что делать с ним я даже не знаю(возможно надо интегральным коши? но я его не понимаю? возможно можно через сравнение как-то?)
Исселодовать ряд на абс. и усл. сходимость
$\sum\limits_{n=1} (-1)^n \tg{\frac{1}{n}}$
$\lim\limits_{n \to \infty}\tg{\frac{1}{n}}=0$
по Лейбницу
$\lim\limits_{n \to \infty}\tg{\frac{1}{n+1}}=0$
то есть получается расходится

[ИСН]

Пока что рандомизатор (который кидает монетку и в зависимости от этого говорит "сходится" или "расходится") Вас в среднем опережает. Тут много всего; с какого примера начнём? 1, 2, 3, или какой-нибудь из непронумерованных?

[Impi]

сначала

[ИСН]

Ну давайте. 1. Что такое "по Даламберу"? что там в этом признаке требуется?

[Impi]

Второй предел нужно считать от отношения a(n) к a(n+1)
$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{\frac{3 + (-1)^n}{2^{n+2}}}{\frac{3 + (-1)^{n+1}}{2^{n+3}}}}={\frac{(3 + (-1)^n)(2^{n+3})}{(2^{n+2})(3 + (-1)^{n+1})}}={\frac{(3 + (-1)^n)(2^n)}{3 + (-1)^{n+1}}}$
так?

[ИСН]

Это Вы что с чем сократили?

-- Сб, 2011-07-02, 19:27 --

(Оффтоп)

Думал уже раскрыть тайну, что в данном случае это вообще бесполезно. Но нет, рано.

[Impi]

ой..нельзя так сокращаться да, там чего-то вообще не сокращается, чего надо было по признаку Коши делать? Но корень тоже как-то не берется

[ИСН]

то-то же.
надо разбивать его на сумму двух рядов и рассматривать те отдельно.

[Impi]

Такие подойдут?
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{3 + (-1)^n}{2^{n+2}}}$=$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{4}{2^{n+2}}} + $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{2}{2^{n+2}}}$
или можно как-то заодно испепелить и +2 в нижней степени?скажем так?
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{3 + (-1)^n}{2^{n+2}}}$=$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{4}{(2^n)(2^2)}} + $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{2}{(2^n)(2^2)}}$

[ИСН]

подойдут, только немножко совсем не такие.
выпишите первые три члена в каждом, ну
и в своём ряду - первые шесть.
что? одинаково? то же самое? равно?

[Impi]

Да и хотела спросить, разложить некоторую функцию в ряд Тейлора в окресности точки, это надо просто значения данной функции подставить в ряд Тейлора( значение в точке 1-2-3-4 и т.д. производную подставить в формулу, и до какой производной надо считать такую функцию.
$ \sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k $

[ИСН]

что значит до какой? вот же у Вас написано: "^\infty"

-- Сб, 2011-07-02, 20:35 --

и вообще лучше не мешайте всё в одной теме. а то я тоже могу начать разговоры о боге, добродетели и смысле жизни, а потом: ой, как там ряд-то? - какой ряд?

[Impi]

ИСН в сообщении #464408 писал(а):

подойдут, только немножко совсем не такие.

Так то понимаю, что должно зависет от четности и нечетности n, но как это реализовать, как то не особо получается. Возможно такой вариант подойдет?
$\sum\limits_{a=2n}^{\infty} {\frac{4}{2^{n+2}}} $
$\sum\limits_{b=2n-1}^{\infty} {\frac{2}{2^{n+2}}}$

-- Сб июл 02, 2011 20:01:44 --

ИСН в сообщении #464410 писал(а):

что значит до какой? вот же у Вас написано: "^\infty"

нашла, надо разложить до той, пока не станет видна общая формула ряда)а после общий вид разложения написать

[ИСН]

Возможно, если Вы придумаете этой нестандартной записи какую-нибудь человечную интерпретацию. Но это вряд ли. Что это у Вас написано? Обычно пишут так: $\sum_{i=1}^{10}i^2$, например, значит "сумма $i^2$ при $i$, меняющемся от 1 до 10." А у Вас сумма чего при чём меняющемся от чего до чего?

[Impi]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\sum\limits_{a=2n}^{\infty} {\frac{4}{2^{n+2}}} \sum\limits_{b=2n-1}^{\infty} {\frac{2}{2^{n+2}}})$
ну вот что-то такое я хочу получить