Доказать, или показать на примере, что:

[bayak]

Апис в сообщении #463953 писал(а):

действительно, величина
$\[\prod\limits_{p \le N} {\left( {1 - \frac{1}{p}} \right)} \]$
равна вероятности того, что (N+1)окажется простым. Но вероятность получаем с погрешностью, так как количество простых чисел вычисляется с погрешностью
И дополнительное условие
$\[p \le N < {p^2}\]$
То есть ограничение по величине, не только слева но и справа, значения (N)
И вопрос. Что это нам даёт?

Тогда уж правильнее будет говорить о средней вероятности того, что $N+\Delta N$ окажется простым, при условии что $\[p \le N, \quad N+\Delta N < {p^2}\]$, а вот вероятность того, что число (N+1) окажется простым будет другой. И если мы будем её знать, то, увеличивая N, мы вычислим интегральную вероятность, которая будет равна $\pi(N)$.

[Апис]

Для bayak.

Цитата:

а вот вероятность того, что число (N+1) окажется простым будет другой.

Конечно величина вероятности и величина вероятности с погрешностью разные значения.

Цитата:

И если мы будем её знать,

То есть вероятность.
Если мы будем знать величину вероятности, мы будем почти всё знать о простых числах. С другой стороны что бы узнать эту самую вероятность нужно почти всё знать о простых числах. Конечно если не желаем получить вероятность каким-то хитрым способом, ну например как философский камень, смешав какие нибудь математические субстанции в определённых пропорциях и получить результат. Тогда да. Так что на данный момент, говорить о вероятности нет смысла, по простым числам ещё много работы.

[bayak]

Апис в сообщении #464223 писал(а):

Если мы будем знать величину вероятности, мы будем почти всё знать о простых числах. С другой стороны что бы узнать эту самую вероятность нужно почти всё знать о простых числах. Конечно если не желаем получить вероятность каким-то хитрым способом, ну например как философский камень, смешав какие нибудь математические субстанции в определённых пропорциях и получить результат. Тогда да. Так что на данный момент, говорить о вероятности нет смысла, по простым числам ещё много работы.

Отчего же не поговорить - всё таки форум. Пусть вероятность события $(N+1)\in P$ , т.е. вероятность принадлежности числа (N+1) к множеству простых чисел, известна и равна $\frac{1}{\log N}$. Тогда, имея $P(N+1)$, давайте вычислим интервал $\Delta N$, ширина которого достаточна для попадания в него одного простого числа. Фактически для этого нам надо решить дискретное уравнение:

$$P(N+1)+P(N+2)+\cdot \cdot \cdot + P(N+\Delta N)=1, \eqno (1)$$

но сойдёт и непрерывное (аналитическое?) уравнение:

$$\int \limits_{N}^{\Delta N}\frac{dx}{\log x}=1. \eqno (2)$$

Замечательным следствием (2) является уравнение:

$$\int \limits_{2}^{N}\frac{dx}{\log x}=\pi (N), \eqno (3)$$

где $\pi (N)$ - общее число простых чисел меньших чем $N$, из которого по известному $\pi (N)$ можно вычислить неизвестное $N$, или наоборот, по известному $N$ вычислить неизвестное $\pi (N)$.

Дело за малым - доказать, что:

$$P(N+1)=\frac{1}{\log N}. \eqno (4)$$

[Апис]

Новый результат теории чисел
(Бесконечное) Вычисление количества простых чисел на интервале
$\[\left( {0,m} \right)\]$
С погрешностью вычисления E<10%. Средняя погрешность при вычислении примерно
$\[{E^/} \approx 4\% \]$
В этом сообщении будет показан только результат без детальных объяснений. И примеры вычислений.
Данный результат получен методом «Обратный ход». При котором находим не количество простых чисел на интервале
$\[\left( {0,m} \right)\]$
а по данному количеству простых чисел находим значение (m).
$\[{p_n}\]$-простое число
(n) – номер простого числа
$\[{Q^{//}}\]$количество простых чисел на интервале
$\[\left( {{p_n},m} \right)\]$(данное количество для начала вычисления).
$\[{Q^/}\]$количество простых чисел (по вычислению) на интервале $\[\left( {0,m} \right)\]$
Q = количество простых чисел взятых из таблицы простых чисел
E – погрешность (ошибка) вычисления
$\[\left[ {\left( {0.1} \right) \cdot p_n^2} \right] = {Q^{//}}\]$
$\[\left[ {\frac{{\left( {0.1} \right) \cdot p_n^2}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}} \right] = m\]$
$\[m\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1 + n = {Q^/}\]$
$\[\left( {0.1} \right) \cdot p_n^2 - 1 + n = {Q^/}\]$
В формуле. Антье от чисел (целые значения) от чисел
$\[\left[ {\left( {0.1} \right) \cdot p_n^2} \right]\]$
$\[\left[ {\frac{{\left( {0.1} \right) \cdot p_n^2}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}} \right]\]$
Значения в столбиках
$\[1. - n\]$
$\[2. - {p_n}\]$
$\[3. - \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$
$\[4. - p_n^2\]$
$\[5. - \left[ {\left( {0.1} \right) \cdot p_n^2} \right]\]$
$\[6. - \left[ {\frac{{\left( {0.1} \right) \cdot p_n^2}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}} \right] = m\]$
$\[7. - \left( {0.1} \right) \cdot p_n^2 - 1 + n = {Q_/}\]$
$\[8. - Q\]$
$\[9. - \left( {E < 10\% } \right)\]$
$\[10. - \left( \% \right)\]$
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 0.5 4 1 2.. 1 1 0 0%
2 3 0.3333333333333333 9 1 3.. 2 2 0 0%
3 5 0,2666666666666667 25 2 7,5.. 4 4 0 0%
4 7 0,2285714285714286 49 4 17.. 7 7 0 0%
5 11 0,2077922077922078 121 12 57.. 16 16 0 0%
6 13 0,1918081918081918 169 16 83.. 21 23 -2 8.6%
7 17 0,1805253569959452 289 28 155.. 34 36 -2 5.5
8 19 0,1710240224172113 361 36 210.. 43 46 -3 6.05%
9 23 0,1635881953555934 529 52 317.. 60 66 -6 9.09%
10 29 0,1579472231019522 841 84 531.. 93 99 -6 6.06%
11 31 0,152852151388986 961 96 628.. 106 114 -8 7.01%
12 37 0,1487210121622567 1369 136 914.. 147 156 -9 5.7%
13 41 0,1450936704022016 1681 168 1157.. 180 191 -11 5.7%
14 43 0,1417193989974992 1849 184 1298.. 197 211 -14 606%
15 47 0,1387040926358503 2209 220 1586.. 234 250 -16 6.4%
16 53 0,1360870342842305 2809 280 2057.. 295 310 -15 4.8%
17 59 0,1337804743811079 3481 348 2601.. 364 378 -14 3.7%
18 61 0,1315873518502701 3721 372 2827.. 389 410 -21 5.1%
19 67 0,1296233615241467 4489 448 3456.. 466 482 -16 3.3%
20 71 0,1277976803759193 5041 504 3943.. 523 547 -24 4.38%
21 73 0,1260470272200848 5329 532 4220.. 552 578 -26 4.5%
22 79 0,1244514952299571 6241 624 5014.. 645 672 -27 4.01%
23 83 0,1229520796247769 6889 688 5595.. 710 738 -28 3.8%
24 89 0,1215705955840491 7921 792 6514.. 815 842 -27 3.2%
25 97 0,1203172904749352 9409 940 7812.. 964 987 -23 2.3%
26 101 0,1191260301732031 10201 1020 8562.. 1045 1066 -21 1.96%
27 103 0,1179694667734633 10609 1060 8985.. 1086 1116 -30 2.6%
28 107 0,1168669483924029 11449 1144 9788.. 1171 1207 -36 2.9%
29 109 0,1157947745539405 11881 1188 10259.. 1216 1258 -42 3.3%
30 113 0,114770042035764 12769 1276 11117.. 1305 1347 -42 3.1%
31 127 0,1138663409173722 16129 1612 14156.. 1642 1666 -24 1.4%
32 131 0,1129971322080792 17161 1716 15186.. 1747 1772 -25 1.4%
33 137 0,1121723356226188
34 139 0,1113653404023122
35 149 0,1106179220103504
36 151 0,1098853529904143
37 157 0,109185446283469
38 163 0,1085155969197667
39 167 0,1078658029262352
40 173 0,1072423011752165
41 179 0,1066431821742376
42 181 0,1060539933224462
43 191 0,1054987368129046
44 193 0,1049521112335632
45 197 0,1044193593998902
46 199 0,1038946390008958
47 211 0,1034022473468631
48 223 0,1029385601390297
49 227 0,1024850863058181
50 229 0,1020375531778451
51 233 0,1015996237650646
52 239 0,1011745207367589
53 241 0,1007547094473948
54 251 0,1003532962623454
55 257 0,0999628165103518
56 263 0,0995827297555596
57 269 0,0992125337341635
58 271 0,0988464358237053
59 277 0,0984895894849916
60 281 0,0981390927252585
61 283 0,0977923114788795
62 293 0,0974585493236615
63 307 0,097141094765604
64 311 0,0968287439785763
65 313 0,0965193869690601
66 317 0,0962149094076435
67 331 0,0959242299230283
68 337 0,0956395882912092
69 347 0,0953639698811481
70 349 0,0950907206837809
71 353 0,0948213418716455
72 359 0,0945572155711674
73 367 0,0942995664824176
74 373 0,0940467526312583
75 379 0,0937986081652128
76 383 0,0935537031830582
77 389 0,0933132052314308
78 397 0,0930781593744247
79 401 0,0930781593744247
80 409 0,0926190368205776
81 419 0,0923979890000034
82 421 0,0921785163420462
83 431 0,0919646450744312
84 433 0,0917522555938898
85 439 0,0915432527337671
86 443 0,0913366088224041
87 449 0,0911331865310402
88 457 0,0909337703679526
89 461 0,0907365170699744
90 463 0,0905405418711191
91 467 0,0903466649077977
92 479 0,0901580497409756
93 487 0,0899729202753883
94 491 0,089789676038575
95 499 0,0896097368080367
96 503 0,0894315862378418
97 509 0,0892558856754885
98 521 0,0890845691962649
99 523 0,0889142354119508
100 541 0,0887498837753299
101 547 0,0885876353589216
102 557 0,08842859113027
103 563 0,0882715243609445
104 569 0,0881163898717337
105 571 0,0879620704498918
106 577 0,0878096231874136 332929 33292 379138… 33397 32229 +1168 3.6%
107 587 0,0876600326879461 344569 34456 393063… 34562 33318 +1244 3.7%
108 593 0,0875122080122497 351649 35164 401818… 35271 33986 +1285 3.7%
109 599
110 601

[Апис]

Исправление механических ошибок. Формула:
$\[\left[ {\frac{{(0.1) \cdot p_n^2}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }}} \right] = m\]$
должна иметь вид:
$\[\frac{{(0.1) \cdot p_n^2}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} }} = m\]$

Отрывок из сообщения должен выглядеть так:

В формуле. Антье от числа (целое значение) от числа
$\[\left[ {\left( {0.1} \right) \cdot p_n^2} \right]\]$
Значения в столбиках:

И далее по тексту

[vorvalm]

Апис
Все ваши расчеты так или иначе связаны с приведенными системами вычетов (ПСВ) по составному модулю $M_r=\prod_1^r p_r$.
Число вычетов ПСВ определяет функция Эйлера $\varphi(M_r)=\prod_1^r (p_r-1)$.
Простые числа в интервале $1<p<p^2_{r+1}$ являютя вычетами ПСВ по модулю $M_r$, следовательно, им должны быть присущи все закономерности распределения вычетов ПСВ.
Обозначим $p(x)$ число простых вычетов, не превосходящих х в интервале $p_{r+1}<x<p^2_{r+1}$, тогда $\pi(x)=p(x)+r$.
Каждому интервалу при переходе от $M_r$ к $M_{r+1}$ будет соответствовать своя средняя плотность вычетов ПСВ, т.е.
$\alpha=\frac{\varphi M}{M}=\prod(1-\frac 1 {p_r})\sim\frac A {\ln x}$.
Таким образом, согласно теореме Мертенса, средняя плотность вычетов ПСВ асимптотически равна средней плотности простых чисел, не превосходящих х , отсюда $p(x)+1=\alpha x$ или $\pi(x)= \alpha x+r-1$
Данные формулы дают минимальные отклонения от реальных $p(x)$ и $\pi(x)$ при $x=p_{r+1}^2 - 1$.
Средняя разность между вычетами ПСВ
$d= \frac{M}{\varphi(M)}=\frac 1 {\alpha}\sim \frac{\ln x}{A}$
равна средней асимтотической разности между простыми числами, не превышающими х в указанном интервале.

[Апис]

vorvalm в сообщении #471725 писал(а):

Апис Все ваши расчеты так или иначе связаны

Связаны ли?
Размышляя, приходим к выводу, есть два результата, по одному вопросу.
Связаны ли они, конечно связаны, но.
Это на первый взгляд. В статье спекулятивная математика я писал "Много есть определений, в чём заключается предмет математика, Герман Вейль подвёл итог, пессимистически оценив возможность дать общепринятое определение предмета математики: (Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой, в конечном счете, математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. )

Ожидать наверно не стоит, помешает страсть к обобщениям. Предмет математика, это числа, для меня этого достаточно. Отсюда, предмет математика, это и решение проблем (задач) с числами, где можно привести конечное или бесконечное число частных примеров, при помощи которых можно подтвердить или опровергнуть решение данной проблемы.
Решение проблемы, можно с уверенностью отнести к предмету математика только тогда, когда проблему (задачу) можно разделить на конечное или бесконечное число частных примеров, при помощи которых можно подтвердить или опровергнуть найденное решение данной проблемы. Решение частного примера должно быть однозначным. Частный пример не должен быть сам проблемой. Частный пример, вот тот показатель определяющий принадлежность данной проблемы к предмету математика. Основное отличие предмета математика, от других дисциплин такое, в математике решение проблемы, не оставляет и тени сомнения в существовании самого решения, нет сомнения, что вместо решения нам представили набор слов. Правильного решения, или не правильного не суть важно. Доказательство существования решения проблемы, основывается на существовании частных примеров по решению данной проблемы. Всё остальное, спекулятивная математика. Слова, и словосочетания, это всегда приблизительное описание, в них никогда не было абсолютной точности. Потому-то при вопросе, может ли частный пример состоять только из слов, ответ отрицательный.
Кант искал критерий истинности в «чистом» рассудке. В противоположность Канту Фейербах видел его в жизни, в действительности, на практике. «Те сомнения, которые не разрешает теория, - пишет он, - разрешит тебе практика»
"
Отсюда к вам просьба, опираясь на приведённые вами формулы, составьте таблицу частных примеров, ну хотя бы расчётов для нескольких десятков P_n.
И тогда мы решим связаны ли

vorvalm в сообщении #471725 писал(а):

Все ваши расчеты так или иначе связаны с приведенными системами вычетов

[Sonic86]

(Оффтоп)

vorvalm в сообщении #471725 писал(а):

$\alpha=\frac{\varphi M}{M}=\prod(1-\frac 1 {p_r})\sim\frac A {\ln x}$.

Все Вам сказать хотел, что $A = e^{-\gamma}$, где $\gamma \approx 0,577$ - постоянная Эйлера.
http://mathworld.wolfram.com/MertensConstant.html

[vorvalm]

Sonic86
Да,это общеизвестная формула, но точное значение коэффициента А к данной теме особого значения не имеет.

-- Чт июл 28, 2011 16:53:51 --

Апис
У Дюринга по этим вопросам есть более силные высказывания, однако!
На каждого "дюринга" найдется свой "энгельс".

[vorvalm]

Апис
Приведенные формулы были проверены мной еше лет 20 назад, а архивы по таким пустякам я не храню. Буду признателен, если вы приведете контр пример моим формулам. При не целых решениях надо брать приближенный вариант.

[Апис]

vorvalm в сообщении #471782 писал(а):

если вы приведете контр пример моим формулам. При не целых решениях надо брать приближенный вариант.

Я попробую

[vorvalm]

Чтобы исключить неоднозначность в принадлежности х к той или иной ПСВ,
интервал для х необходимо уменьшить снизу до $p^2_r<x \leqslant p^2_{r+1}$

[Апис]

Для «vorvalm»
Предлагаю вашему вниманию самую простую (проще наверно не было) формулу для определения количества простых чисел на интервале (0,m_n). Конечно это не математика, в строгом смысле, но из этих вариантов (есть надежда), получится результат, отвечающий всем канонам. Да и это просто интересно.
$\[\left( {2,4} \right){p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - 1 + n = Q\]$
И ещё проще
2n – количество простых чисел на интервале (0,m_n)
Где:
2,4*p_n = m_n
2n – количество простых чисел на интервале (0,m_n)
Q_n – количество простых чисел на интервале (0,m_n) взятое из таблиц простых чисел
E_n – погрешность вычисления для интервала (0,m_n)
E_(n+1)-E_n – погрешность вычисления количества простых чисел, для самого малого известного интервала (m_(n+1),m_n)
Для вас этот контр пример хорош тем, что при вычислении по данной формуле, погрешность вычисления регулярно меняет свой знак на противоположный. То есть если ваше отклонение от реального значения не сильно большое, оно обязательно регулярно будет равно величине погрешности. И общие значения (результаты вычисления) будут равны соответственно. Но для строгого математического доказательства, этот контр пример использовать нельзя. Смена знака величины погрешности, доказанный факт для некого массива из простых чисел забитых в программу, что далее - бог ведает.
И как всегда. НАПРИМЕР: Приведу всего лишь один столбик из величин погрешностей (E_n)от (n) = 1 до (n)=117 и так далее.
0
0
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
0
2
1
1
2
2
0
1
0
-1
1
2
3
2
0
-1
0
1
-1
0
0
-1
0
0
0
0
-2
-2
-1
1
-2
-3
-2
-1
0
-1
























































-9
-8
-9
-9
-7
-7
-10
-10
-9
-8

[vorvalm]

Апис
Простота или сложность формул имеет объективную оценку. Это прежде всего число аргументов (или переменных), а также их функциональная зависимость (арифметическая, алгебраическая или иная). И ваша и моя формулы по этим параметрам идентичны.
У вас три аргумента: $p_n,p_i,n$. Только непонятно, откуда берется коэффициент 2,4.
У меня: $\alpha,x,r$. Если их сопоставить, то получается что $\alpha=\prod\frac{p_i-1}{p_i},r=n,p_n=x$.
Моя формула не ограничена числом r, а ваша ограничена n=117 (это р=643). Это такой "мизер", на котором можно солидно "подсесть".
И ваш и моя формулы практически мало пригодны, т.к. требуют заранее знать определенное число индексированных простых чисел.

[Апис]

Изменим подход к решению проблемы, (определение величин погрешностей),
при вычислении количества простых чисел на интервале (0,m).
До этого формула для вычисления результата решета Эратосфена
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
менялась вместе со значением (m). Каждое, одно значение (m), было привязано к своей формуле
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
$\[{p_n} < m < p_{n + 1}^2\]$
Примем
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
за постоянную величину. Изменяться будут только значения (m).
Имеем
$\[{m^\backslash }\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}} - 1 = {Q^{\backslash \backslash }}} \]$
- формула для определения количества простых чисел на интервале
$\[\left( {{p_n},{m^\backslash }} \right)\]$
При
$\[{m^\backslash } = {p_n}\]$
погрешность вычисления положительная. Так как формула
$\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
Все простые числа от 0 до (p_n) включительно, воспринимает как составные числа, это числа базисы.
При
$\[{m^\backslash } = {2^2}{p_n}\]$
погрешность вычисления отрицательная. Отсюда кстати и коэффициент (2,4), значение не точное. В доказательство этого утверждения не вписываются расчёты для (n)=7. Что-то. Какие-то нюансы я видно не учёл, нужно ещё доработать.
Что из этого следует?
На интервале
$\[\left( {{p_n}{{,2}^2}{p_n}} \right)\]$
есть такое значение (m\) при котором формула
$\[{m^\backslash }\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}} - 1 = {Q^{\backslash \backslash }}} \]$
даёт абсолютно точное значение количества простых чисел на интервале
$\[\left( {{p_n},{m^\backslash }} \right)\]$
Это очередное доказательство бесконечного числа простых чисел, и к тому же можно указать интервал, где это очередное простое число находится.