Задача по арифметике с факультетской олимпиады

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #463121 писал(а):

А, уже и пример есть. Но пусть примеров будет побольше. Хочется, глядя на них, сделать некоторое наблюдение.

Любые х и у, такие что $x^2-2y^2=7$
Тогда $\sqrt{x+y\sqrt{2}}+\sqrt{x-y\sqrt{2}}=\sqrt{2x+2\sqrt{7}}$

[nnosipov]

Давайте полностью выпишем.

[Руст]

Лучше сформулируйте задачу. Пока примеры мне ничего не говорят, что вы хотите.

[Equinoxe]

Вот ещё одна:
$\sqrt{3^n+3^{n-1}\sqrt 2 }+\sqrt{3^n-3^{n-1}\sqrt 2}$

[nnosipov]

Вот цитата из соответствующей брошюры Московской олимпиады, где эта задача решается: "Неизвестно, могут ли все числа $a$, $b$, $c$, $d$ в исходной задаче быть положительными."

Будем называть белое число $\sqrt{a+b\sqrt{2}}$ интересным, если $a>0$ и $b>0$. Может ли чёрное число равняться сумме нескольких интересных белых? Я предлагаю доказать, что нет. (И приведённые примеры этому, как видно, не противоречат.)

Я не знаю, есть ли у этого вопроса элементарное решение. То, что мне удалось придумать, использует, скажем так, высшую алгебру. Похоже, автор(ы) этой задачи действительно не знали ответа.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #463130 писал(а):

Вот цитата из соответствующей брошюры Московской олимпиады, где эта задача решается...

Только сейчас дошло - да там все задачи - с Московской олимпиады
Получается, я потыбрила уже потыбренную задачу?

(Оффтоп)

В Мишне есть такой стих:
הגונב מגנב פטור
Переводится примерно так: укравший у вора - не вор.
Дословный перевод: крадущий у вора - освобождён (от наказания - прим. Ксюш.).

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #463136 писал(а):

Только сейчас дошло - да там все задачи - с Московской олимпиады
Получается, я потыбрила уже потыбренную задачу?

Часто для студенческих олимпиад берут задачи с Московской или Всероссийской олимпиады. И часто они бывают самыми трудными.

[Equinoxe]

nnosipov, покажите неэлементарное решение, очень интересно взглянуть :)

[nnosipov]

Equinoxe в сообщении #463143 писал(а):

nnosipov, покажите неэлементарное решение, очень интересно взглянуть :)

Оно не длинное, но там есть ссылки на отдельные результаты из одной моей статьи, а в ней два дня лесом разбираться. Подождём ещё, может, кто получше (в смысле, поэлементарней) придумает. А если нет, то я своё доказательство причешу и потом обязательно продемонстрирую. Ok?

[nnosipov]

Equinoxe, вот обещанное доказательство. Пусть $\sum r_k=r$, где $r_k=\sqrt{a_k+b_k\sqrt{2}}$ --- интересные белые числа, $r=\sqrt{c+d\sqrt{7}}$ --- чёрное число. Имеем

$$ \sum r_k^2+2\sum r_kr_l=r^2, \eqno(*) $$

откуда видно, что $\sum r_kr_l$ --- сумма нескольких дважды вложенных радикалов --- является упрощаемой (т.е. представляется суммой обычных радикалов). Но такое бывает только если каждый из дважды вложенных радикалов $r_kr_l$ упрощаем (точную формулировку соответствующего результата см. в статье Осипов Н.Н. Об упрощении вложенных вещественных радикалов // Программирование. 1997. № 3. С. 31-35., теорема 5). Заметим теперь, что $r_kr_l=\sqrt{A_{k,l}+B_{k,l}\sqrt{2}}$, где $A_{k,l}>0$ и $B_{k,l}>0$. Следовательно, $A_{k,l}+B_{k,l}\sqrt{2}=z_{k,l}(x_{k,l}+y_{k,l}\sqrt{2})^2\rho_{k,l}$, где $\rho_{k,l} \in \{1,\sqrt{2}\}$, $x_{k,l}$, $y_{k,l}$, $z_{k,l}$ --- рациональные числа, причём $z_{k,l}>0$ (это --- критерий упрощаемости одного дважды вложенного радикала, см. там же). Ясно, что $x_{k,l}y_{k,l}>0$, поэтому можно считать рациональные числа $x_{k,l}$ и $y_{k,l}$ положительными. Итак,

$$ r_kr_l=(x_{k,l}+y_{k,l}\sqrt{2})\sqrt{z_{k,l}}\sqrt{\rho_{k,l}} $$

для всех $k \neq l$. Но тогда равенство $(*)$ противоречиво: в левой части после приведения подобных останется $\sqrt{2}$ (с положительным рациональным коэффициентом), а в правой части $\sqrt{2}$ нет.

К сожалению, ничего проще предложить не могу (и не уверен, что такое есть). Те факты, которые я использовал, можно найти и в работах других авторов (некоторые приведены в брошюре LXVII Московской олимпиады).