Equinoxe, вот обещанное доказательство. Пусть

, где

--- интересные белые числа,

--- чёрное число. Имеем

откуда видно, что

--- сумма нескольких дважды вложенных радикалов --- является упрощаемой (т.е. представляется суммой обычных радикалов). Но такое бывает только если каждый из дважды вложенных радикалов

упрощаем (точную формулировку соответствующего результата см. в статье
Осипов Н.Н. Об упрощении вложенных вещественных радикалов // Программирование. 1997. № 3. С. 31-35., теорема 5). Заметим теперь, что

, где

и

. Следовательно,

, где

,

,

,

--- рациональные числа, причём

(это --- критерий упрощаемости одного дважды вложенного радикала, см. там же). Ясно, что

, поэтому можно считать рациональные числа

и

положительными. Итак,

для всех

. Но тогда равенство

противоречиво: в левой части после приведения подобных останется

(с положительным рациональным коэффициентом), а в правой части

нет.
К сожалению, ничего проще предложить не могу (и не уверен, что такое есть). Те факты, которые я использовал, можно найти и в работах других авторов (некоторые приведены в брошюре LXVII Московской олимпиады).