Задача по арифметике с факультетской олимпиады

[Xenia1996]

Мне очень понравилась одна задача вот отсюда, не могла удержаться, чтобы не потыбрить:
Дан набор, состоящий из 2007 чисел таких, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор. Чему равно произведение чисел в наборе?

Странно, что её не решил ни один первокурсник, только ребята со старших курсов.
Мне она показалась лёгкой, но красивой.

[nnosipov]

Нулю, что ли?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #463098 писал(а):

Нулю, что ли?

Там табличка внизу - кто сколько баллов за какую задачу заработал. Видимо, те двое первокурсников, что получили за эту задачу по одному баллу, написали ответ без решения.

[nnosipov]

Да какое там решение. Нечётное 2007, и все дела. А вообще, команда Кемеровского ГУ регулярно приезжает к нам на региональную студенческую олимпиаду и неплохо выступает (но проигрывает нашим студентам-математикам). И в этом году также было.

Кстати, о других задачках оттуда. Задача с радикалами (очень интересная) --- это Московская олимпиада, последняя задача --- это Турнир городов.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #463103 писал(а):

Да какое там решение. Нечётное 2007, и все дела.

Чтобы произведение не было нулевым, среди 2007 чисел не должно быть не одного нуля.
А вдруг такой контрпример есть (я-то уже знаю, что нет, потому что решила, но всё-таки)?

[Руст]

Это очевидно. Если сумма $S$, то с каждым $x_i$ получаем $x_j=S-x_i$ или $(n-2)S=0$. Нечетное количество симметричное относительно 0 содержит 0.

[Xenia1996]

Руст в сообщении #463106 писал(а):

Это очевидно. Если сумма $S$, то с каждым $x_i$ получаем $x_j=S-x_i$ или $(n-2)S=0$. Нечетное количество симметричное относительно 0 содержит 0.

Для Вас - очевидно, а мне подумать пришлось. А первокурсники вообще отдыхают (хотя, две из них написали хотя бы ответ).

[Руст]

Да, вы забыли сказать, что числа разные. Иначе не верно.
Пример $1,1,1,-1,2,-2,-2.$

[nnosipov]

Давайте лучше задачу про черно-белые радикалы обсудим. Я в своё время придумал некоторое дополнение к ней, там похитрей будет. Если интересно, напишу.

[Xenia1996]

Руст в сообщении #463109 писал(а):

Да, вы забыли сказать, что числа разные. Иначе не верно.
Пример $1,1,1,-1,2,-2,-2.$

Так не я забыла, а там забыли

Нет, не забыли. Написано "набор", стало быть, множество. В отличие от мультимножества, во множестве все элементы различны.

-- Вт июн 28, 2011 17:02:12 --

Руст в сообщении #463109 писал(а):

Да, вы забыли сказать, что числа разные. Иначе не верно.
Пример $1,1,1,-1,2,-2,-2.$

Да нет, это у Вас неверно.
В Вашем наборе одно число $-1$, а если заменить - будет 3 таких числа.

А нет, простите, это я ошиблась

Таки нет, не ошиблась!

Кстати, ответ будет 0 в любом случае, не важно, все числа разные или нет.

[Руст]

Под набором чисел обычно понимается числа $\{x_1,...x_k\}, x_i\not =x_j, \ if \ i\not =j$ взятых каждый в некотором количестве раз. После обращения в моем примере получается тот же набор правда с другими кратностями

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #463111 писал(а):

Давайте лучше задачу про черно-белые радикалы обсудим. Я в своё время придумал некоторое дополнение к ней, там похитрей будет. Если интересно, напишу.

Давайте обсудим, Вы знаете, что я всегда за.

Очень интересно, напишите, пожалуйста!

Я уже решила, у меня есть пример.
Сразу показать, или дать другим форумчанам подумать?

[nnosipov]

Отлично! Эта задача связана с некоторыми красивыми равенствами, содержащими вложенные квадратные радикалы. Давайте скажем сразу, что ответ положительный, и придумаем пример. (Примеров много, поэтому должно быть нетрудно.)

А, уже и пример есть. Но пусть примеров будет побольше. Хочется, глядя на них, сделать некоторое наблюдение.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #463121 писал(а):

Отлично! Эта задача связана с некоторыми красивыми равенствами, содержащими вложенные квадратные радикалы. Давайте скажем сразу, что ответ положительный, и придумаем пример. (Примеров много, поэтому должно быть нетрудно.)

$\sqrt{3+\sqrt{2}}+\sqrt{3-\sqrt{2}}$

[nnosipov]

Насколько я помню, там целые семейства примеров.