дифференциальное уравнение

[Oleg Zubelevich]

Доказать, что задача Коши

$$\dot x_k=x_{k+1}\sqrt{x_k}+\frac{1}{k},\quad x_k(0)=0,\quad k\in\mathbb{N}$$

при достаточно малом $T>0$ имеет решение $x(t)=\{x_k(t)\}_{k\in\mathbb{N}}\in C^1([0,T],c_0).$

[sup]

Не очень ясно, почему именно $1/k$. Вместо $1/k$ может быть любая последовательность неотрицательных чисел $a_k \to 0$.

[Oleg Zubelevich]

$X$ -- банахово пространство с безусловным базисом Шаудера $\{e_n\},\quad n\in \mathbb{N}$

Доказать, что задача Коши

$$\dot x_n=x_n\sqrt{|x_{n+1}|}+a_n,\quad x_n(0)=0,\quad \sum_na_ne_n\in X$$

при достаточно малых $T>0$ имеет решение $\sum_nx_n(t)e_n\in C^1([0,T],X)$

так лучше?