Что больше ?

[anermak]

(олимп. вми, 1999) сделали всего 3 участника из 45
Что больше?

1) 12$e^{e}$ или 5${\pi}^{\pi}$
2)* $e^{\frac{1}{e}}$ или ${\pi}^{\frac{1}{\pi}}$

[alex1910]

anermak в сообщении #462180 писал(а):

(олимп. вми, 1999) сделали всего 3 участника из 45
Что больше?

1) 12$e^{e}$ или 5${\pi}^{\pi}$
2)* $e^{\frac{1}{e}}$ или ${\pi}^{\frac{1}{\pi}}$

Звездочка не там, первый пункт сложнее, второй - исследование функции
x^(1/x).

[Kitozavr]

Можно просто подставить значения и посчитать.

[alex1910]

Kitozavr в сообщении #462187 писал(а):

Можно просто подставить значения и посчитать.

Без калькулятора с необходимой точностью пару дней считать будете:)

[Kitozavr]

(Оффтоп)

Разве можно без кремниевого друга из дома выйти?

[MrDindows]

Kitozavr в сообщении #462193 писал(а):

(Оффтоп)

Разве можно без кремниевого друга из дома выйти?

На олимпиаду с калькулятором?=) В доказательстве тоже написать: "Согласно подсчётам на калькуляторе..."?

[Praded]

2) Исследовать функцию $y=x^{\frac{1}{x}}$ на экстремум. Получим $y_{\max}=y(e)=e^{\frac{1}{e}}$

[myra_panama]

Вот можно считать более сложным:
Что больше :
$e^e{\pi}^{\pi}$ или $e^{2\pi}$ ?

[mitia87]

myra_panama в сообщении #462358 писал(а):

Вот можно считать более сложным:
Что больше :
$e^e{\pi}^{\pi}$ или $e^{2\pi}$ ?

Надо функцию $f(x) = e ^ \frac{e}{x}x - e^2$

(Оффтоп)

$f(e) = 0, f'(x) > 0 \ \forall x > e$

[myra_panama]

ммм... странно , ну если использовать вами указанию , то...

$f'(x)=e^{\frac{e}{x}}(1-\frac{e}{x})$
отсюда , при $x<e , f'(x)<0$ и при $x>e , f'(x)>0$
то есть в точке x=e минимум ...
$f(e)>f(\pi)$ , но из вашей функции ничего не выходит.... (проверьте)

[мат-ламер]

Надо исследуемые числа приблизить частичными суммами соответствующих рядов. Вот только каких?

[Praded]

1) Неожиданно, но решение тригонометрическое и устное.

[mitia87]

myra_panama в сообщении #462463 писал(а):

ммм... странно , ну если использовать вами указанию , то...

$f'(x)=e^{\frac{e}{x}}(1-\frac{e}{x})$
отсюда , при $x<e , f'(x)<0$ и при $x>e , f'(x)>0$
то есть в точке x=e минимум ...
$f(e)>f(\pi)$ , но из вашей функции ничего не выходит.... (проверьте)

Так как при $x>e , f'(x)>0$, а $f(e) = 0$, то $f(\pi)>f(e) = 0$. Т.е. $e^\frac{e}{\pi}\pi > e^ 2$. Далее все возводится в степень $\pi$.

[myra_panama]

mitia87 в сообщении #462489 писал(а):

Далее все возводится в степень $\pi$.

мм да все правильно не заметил ,.... НО как то у меня другая подборка функции...
$f(x)=x-\pi\ln x$

-- Вс июн 26, 2011 20:21:47 --

мат-ламер в сообщении #462479 писал(а):

Надо исследуемые числа приблизить частичными суммами соответствующих рядов. Вот только каких?

Интересно

[no_name]

Я извиняюсь, проверьте пожалуйста моё решение первой задачи.

(Оффтоп)

$12\cdot{e^e}-5\cdot\pi^\pi = 12\cdot{e^e}\left(1-\frac 5{12}\frac {\pi^\pi}{e^e}\right)$
Теперь по-сути нужно ответить на вопрос является ли положительным или отрицательным следующее число:
$1-\frac 5{12}\frac {\pi^\pi}{e^e}$
Для этого рассмотрим функцию:
$f(x)=1-\frac 5{12}\frac {x^x}{e^e}$
Сделаем замену:
$x^x=t$
Тогда:
$f(t)=1-\frac 5{12}\frac {t}{e^e}$
Решим такое уравнение:
$1-\frac 5{12}\frac {t}{e^e}=0$
$t=e+\ln{\frac{12} 5}$
$x^x=e+\ln{\frac{12} 5}=\alpha$
Если $x^x > \alpha$, то $f(x)<0$.
$x=\pi$
$\pi^\pi > \alpha$
Тогда:
$12\cdot{e^e}-5\cdot\pi^\pi = 12\cdot{e^e}\left(1-\frac 5{12}\frac {\pi^\pi}{e^e}\right) < 0$
Тогда:
$12\cdot{e^e}<5\cdot\pi^\pi$

мат-ламер в сообщении #462479 писал(а):

Надо исследуемые числа приблизить частичными суммами соответствующих рядов. Вот только каких?

Вот я тоже подумал сначала про ряды, но к сожалению пока я умею пользоваться только рядом Тейлора, а он не даст требуемой точности, по крайней мере если просто вычислять с его помощью числа. С другой стороны эту задачу можно свести к задаче о оценке отношения $\frac{\pi^\pi}{e^e}$ если мы покажем, что оно меньше чем 2,5 то решим задачу, можно попробовать раскладывать в ряд Тейлора как функцию двух переменных и смотреть на остаточный член, но я не пробовал.