Что больше ?

[zhekas]

no_name в сообщении #462540 писал(а):

$1-\frac 5{12}\frac {t}{e^e}=0$
$t=e+\ln{\frac{12} 5}$

Вот тут ошибка
$t=e^{e+\ln{\frac{12} 5}}$
и дальше всё очень не очевидно

[myra_panama]

Что больше: ${2010}^{2011} \text{или} {2011}^{2010}$?
Можно ли подобрать какую нибудь функцию для доказательств?

(Оффтоп)

ну можно использовать неравенству
$n^{n+1}>(n+1)^{n} , n\ge 3$

[MrDindows]

myra_panama в сообщении #462653 писал(а):

Что больше: ${2010}^{2011} \text{или} {2011}^{2010}$?
Можно ли подобрать какую нибудь функцию для доказательств?

(Оффтоп)

ну можно использовать неравенству
$n^{n+1}>(n+1)^{n} , n\ge 3$

$f(n)=n^{n+1}-(n+1)^{n} $

[Praded]

myra_panama в сообщении #462653 писал(а):

Что больше: ${2010}^{2011} \text{или} {2011}^{2010}$?
Можно ли подобрать какую нибудь функцию для доказательств?

(Оффтоп)

ну можно использовать неравенству
$n^{n+1}>(n+1)^{n} , n\ge 3$

М.б., просто поделить $\frac{n^{n+1}}{n^n} \vee \frac{(n+1)^n}{n^n}\leftrightarrow n\vee \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n\leftrightarrow n\vee \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$

[Equinoxe]

myra_panama
Это $2010^{2011}>2011^{2010}$
можно переписать как $(\frac {2011} {2010})^{2010}<2010$. Вспомним, что \lim \limits_{x\to \infty} (1+\frac 1 x)^x = e$, вспомним также свойства этой ф-ции и поймём, что неравенство выполняется (оттуда и выполнение $x^{x+1}>(x+1)^x$ для $x\geq 3$, ведь $2<e$)

[no_name]

zhekas в сообщении #462589 писал(а):

Вот тут ошибка

и дальше всё очень не очевидно

Ага, спасибо, степень потерял.
$\pi^\pi=e^e+\ln{\frac{12} 5}$
$3^3 > 2.8^3 + 1$
Вот так тогда. Только мне кажется, что можно проще решение найти.

[M.Konst]

Первый пункт решил криво, но все же
$f(x)=(12\frac{\pi-x}{\pi-e}+5\frac{x-e}{\pi-e})x^x$
$f'(x)=\frac{x^x}{\pi-e}(\ln x (12\pi-5e-7)-7)>0$ при $e<x<\pi$
Последнее неравенство получается даже из грубых оценок