Уравнение $x^n+y^n=p^k$

[nnosipov]

Пусть $x$, $y$ --- взаимно простые натуральные числа, $n>1$ --- нечётное число, $p$ --- нечётное простое число, $k$ --- натуральное число, при этом

$$ x^n+y^n=p^k. $$

Найти все такие $(x,y,n,p,k)$.

[age]

nnosipov в сообщении #461507 писал(а):

$p$ --- нечётное простое число

ну уж хотя бы полупростое

[nnosipov]

age в сообщении #461574 писал(а):

ну уж хотя бы полупростое

А что это?

[age]

погуглите.

[nnosipov]

Полупростое --- это произведение двух простых (видимо, разных). Хорошо, а что Вы имели в виду?

[age]

Погорячился. Задача действительно интересная. Выкидываем все тривиальные случаи, остаётся $x^4+y^4=p^k$, где $p$ - простое. Тривиального решения пока не вижу.

[nnosipov]

age в сообщении #461722 писал(а):

Выкидываем все тривиальные случаи, остаётся $x^4+y^4=p^k$, где $p$ - простое.

В условии речь идёт только о нечётных $n$. И почему же этот случай тривиален? Было бы неплохо увидеть доказательство. Да и ответ к задаче ещё не указан.

[age]

nnosipov
я вчера весь вечер прозанимался уравнением $x^4+y^4=p^3$. Разницы между простым и составным $p$ не увидел.

Что касается нечётных $n$:
Т.к. $\left(\dfrac{x^n+y^n}{x+y},\ x+y\right)=1$ и $x^n+y^n\div n^2$ при $x+y\div n$. То решений нет.

-- Пт июн 24, 2011 13:40:49 --

age в сообщении #461809 писал(а):

я вчера весь вечер прозанимался уравнением $x^4+y^4=p^3$. Разницы между простым и составным $p$ не увидел.

Вся фишка в том, что по гипотезе Биля (да и по abc) у $x^4+y^4=p^k$ натуральных решений нет. Отсюда следует автоматически, что нет решений ни для каких $x^{4n}+y^{4n}=p^k$. Думал, что исходя из доп.условия $p$ - простое, Вы нашли нечто новенькое, т.сказать частный случай гипотезы Биля. Вот и решил поискать.

[nnosipov]

age в сообщении #461809 писал(а):

Что касается нечётных $n$:
Т.к. $\left(\dfrac{x^n+y^n}{x+y},\ x+y\right)=1$ и $x^n+y^n\div n^2$ при $x+y\div n$. То решений нет.

Как у Вас всё быстро получается! А как же равенство $2^3+1^3=3^2$? Я был бы рад, если бы Вы написали подробное доказательство (оно вполне содержательно, эта задача уровня финалов Всероссийской олимпиады для школьников, вряд ли здесь всё так очевидно). Ваше равенство $\left(\dfrac{x^n+y^n}{x+y},\ x+y\right)=1$ выглядит очень легкомысленно, а при доказательстве подобных утверждений небрежность недопустима.

[juna]

Поскольку $n$ - нечетное, то $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1})=p^k$, значит $x+y=p^{k_1},x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1}=p^{k_2},k_1+k_2=k$.
Имеем $y=p^{k_1}-x,x^{n-1}-x^{n-2}(p^{k_1}-x)+...+(p^{k_1}-x)^{n-1}=p^{k_2}$, в последнем раскроем скобки и рассмотрим разрешимость по модулю $p$, там все члены имеют множителем $p$, и только один равен $n\cdot x^{n-1}$. Если $x$ делится на $p$, то и $y$ делится на $p$, однако им положено быть взаимнопростыми, значит $n$ делится на $p$. Пусть $n=lp$, тогда рассмотрим $(x^p)^l+(y^p)^l=p^k$ и повторим аналигичные рассуждения. В конечном итоге получим $l=p$, и искомая задача сводится к $x^p+y^p=p^k$. Для доказательства невозможности последнего рассмотрим $x^{p}+(p^{k_1}-x)^{p}=p^k$, раскрыв скобки получим член с минимальной степенью $p$, при котором будет $x$ вида $p\cdot p^{k_1}x^{p-1}$, сократим на $p^{k_1+1}$ и опять получим, что $x$ должно делиться на $p$, что невозможно.

[nnosipov]

juna в сообщении #462032 писал(а):

... и искомая задача сводится к $x^p+y^p=p^k$. Для доказательства невозможности последнего ...

juna, оно возможно: $2^3+1^3=3^2$. Концовку доказательства нужно проводить аккуратнее.

[juna]

nnosipov в сообщении #462045 писал(а):

Концовку доказательства нужно проводить аккуратнее.

Это точно. Мое доказательство работает только для $k>k_1+1$. Если же $k=k_1+1$, то для решения получаем $x^p+(p^{k-1}-x)^p-p^k=0$, и для решения $x$ должно быть натуральным корнем этого уравнения, ну и делителем числа $p^{(p-1)k-p}-1$. (сказать чего-то большего, не вижу как.)

[juna]

juna в сообщении #462162 писал(а):

сказать чего-то большего, не вижу как

Ну а дальше, батенька, сплошной примитив.
Дифференцируем $x^p+(p^{k-1}-x)^p-p^k$ по $x$, находим $x=\frac{p^{k-1}}{2}$, при котором это выражение имеет минимум, далее находим условие $p^{p(k-1)-k}<2^{p-1}$, откуда $2^3+1^3=3^2$ единственное решение при $k>1$.

[nnosipov]

Правильно! Для сведения: это задача соединяет в себе задачи 9.3 и 10.3 с XXII Всероссйской олимпиады школьников.

[BanmaN]

Да, интересная задача.

Альтернативный метод (намного короче, но с большими предварительными сведениями) можно получить по аналогии с первой задачей из статьи про метод LTE http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=401494.