2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение23.06.2011, 17:53 
Заслуженный участник


20/12/10
6397
Пусть $x$, $y$ --- взаимно простые натуральные числа, $n>1$ --- нечётное число, $p$ --- нечётное простое число, $k$ --- натуральное число, при этом
$$
x^n+y^n=p^k.
$$
Найти все такие $(x,y,n,p,k)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение23.06.2011, 19:41 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #461507 писал(а):
$p$ --- нечётное простое число
ну уж хотя бы полупростое :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение23.06.2011, 19:50 
Заслуженный участник


20/12/10
6397
age в сообщении #461574 писал(а):
ну уж хотя бы полупростое :roll:

А что это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение23.06.2011, 19:51 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
погуглите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение23.06.2011, 19:55 
Заслуженный участник


20/12/10
6397
Полупростое --- это произведение двух простых (видимо, разных). Хорошо, а что Вы имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение24.06.2011, 01:24 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Погорячился. Задача действительно интересная. Выкидываем все тривиальные случаи, остаётся $x^4+y^4=p^k$, где $p$ - простое. Тривиального решения пока не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение24.06.2011, 03:06 
Заслуженный участник


20/12/10
6397
age в сообщении #461722 писал(а):
Выкидываем все тривиальные случаи, остаётся $x^4+y^4=p^k$, где $p$ - простое.

В условии речь идёт только о нечётных $n$. И почему же этот случай тривиален? Было бы неплохо увидеть доказательство. Да и ответ к задаче ещё не указан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение24.06.2011, 12:25 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov
я вчера весь вечер прозанимался уравнением $x^4+y^4=p^3$. Разницы между простым и составным $p$ не увидел.

Что касается нечётных $n$:
Т.к. $\left(\dfrac{x^n+y^n}{x+y},\ x+y\right)=1$ и $x^n+y^n\div n^2$ при $x+y\div n$. То решений нет.

-- Пт июн 24, 2011 13:40:49 --

age в сообщении #461809 писал(а):
я вчера весь вечер прозанимался уравнением $x^4+y^4=p^3$. Разницы между простым и составным $p$ не увидел.
Вся фишка в том, что по гипотезе Биля (да и по abc) у $x^4+y^4=p^k$ натуральных решений нет. Отсюда следует автоматически, что нет решений ни для каких $x^{4n}+y^{4n}=p^k$. Думал, что исходя из доп.условия $p$ - простое, Вы нашли нечто новенькое, т.сказать частный случай гипотезы Биля. Вот и решил поискать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение24.06.2011, 13:30 
Заслуженный участник


20/12/10
6397
age в сообщении #461809 писал(а):
Что касается нечётных $n$:
Т.к. $\left(\dfrac{x^n+y^n}{x+y},\ x+y\right)=1$ и $x^n+y^n\div n^2$ при $x+y\div n$. То решений нет.


Как у Вас всё быстро получается! А как же равенство $2^3+1^3=3^2$? Я был бы рад, если бы Вы написали подробное доказательство (оно вполне содержательно, эта задача уровня финалов Всероссийской олимпиады для школьников, вряд ли здесь всё так очевидно). Ваше равенство $\left(\dfrac{x^n+y^n}{x+y},\ x+y\right)=1$ выглядит очень легкомысленно, а при доказательстве подобных утверждений небрежность недопустима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение25.06.2011, 09:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Поскольку $n$ - нечетное, то $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1})=p^k$, значит $x+y=p^{k_1},x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1}=p^{k_2},k_1+k_2=k$.
Имеем $y=p^{k_1}-x,x^{n-1}-x^{n-2}(p^{k_1}-x)+...+(p^{k_1}-x)^{n-1}=p^{k_2}$, в последнем раскроем скобки и рассмотрим разрешимость по модулю $p$, там все члены имеют множителем $p$, и только один равен $n\cdot x^{n-1}$. Если $x$ делится на $p$, то и $y$ делится на $p$, однако им положено быть взаимнопростыми, значит $n$ делится на $p$. Пусть $n=lp$, тогда рассмотрим $(x^p)^l+(y^p)^l=p^k$ и повторим аналигичные рассуждения. В конечном итоге получим $l=p$, и искомая задача сводится к $x^p+y^p=p^k$. Для доказательства невозможности последнего рассмотрим $x^{p}+(p^{k_1}-x)^{p}=p^k$, раскрыв скобки получим член с минимальной степенью $p$, при котором будет $x$ вида $p\cdot p^{k_1}x^{p-1}$, сократим на $p^{k_1+1}$ и опять получим, что $x$ должно делиться на $p$, что невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение25.06.2011, 10:30 
Заслуженный участник


20/12/10
6397
juna в сообщении #462032 писал(а):
... и искомая задача сводится к $x^p+y^p=p^k$. Для доказательства невозможности последнего ...

juna, оно возможно: $2^3+1^3=3^2$. Концовку доказательства нужно проводить аккуратнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение25.06.2011, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
nnosipov в сообщении #462045 писал(а):
Концовку доказательства нужно проводить аккуратнее.

Это точно. Мое доказательство работает только для $k>k_1+1$. Если же $k=k_1+1$, то для решения получаем $x^p+(p^{k-1}-x)^p-p^k=0$, и для решения $x$ должно быть натуральным корнем этого уравнения, ну и делителем числа $p^{(p-1)k-p}-1$. (сказать чего-то большего, не вижу как.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение26.06.2011, 10:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
juna в сообщении #462162 писал(а):
сказать чего-то большего, не вижу как

Ну а дальше, батенька, сплошной примитив.
Дифференцируем $x^p+(p^{k-1}-x)^p-p^k$ по $x$, находим $x=\frac{p^{k-1}}{2}$, при котором это выражение имеет минимум, далее находим условие $p^{p(k-1)-k}<2^{p-1}$, откуда $2^3+1^3=3^2$ единственное решение при $k>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение26.06.2011, 10:56 
Заслуженный участник


20/12/10
6397
Правильно! Для сведения: это задача соединяет в себе задачи 9.3 и 10.3 с XXII Всероссйской олимпиады школьников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение $x^n+y^n=p^k$
Сообщение10.07.2011, 20:06 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Да, интересная задача.

Альтернативный метод (намного короче, но с большими предварительными сведениями) можно получить по аналогии с первой задачей из статьи про метод LTE http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=401494.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group