arqady, а разве так можно? Во первых замена...у нас же неравенство вроде как не симметричное в начале. Во вторых, вы пишите в скобках про одинаково упорядоченные четвёрки, что равносильно такому:
![$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \le \frac{a}{d}+\frac{b}{c}+ \frac{c}{b}+ \frac{d}{a}$ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \le \frac{a}{d}+\frac{b}{c}+ \frac{c}{b}+ \frac{d}{a}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/f/38ff4f9b57763e7a9d2a4c3a59261c7982.png)
Или же такому:
![$(a-c)(b-d) \ge 0$ $(a-c)(b-d) \ge 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/b/71bc697d74ee7322ec8f8580ec406bf282.png)
, что собственно не верно.
Да, это тонкое место! Можно считать, что
![$(a-c)(b-d) \ge 0$ $(a-c)(b-d) \ge 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/b/71bc697d74ee7322ec8f8580ec406bf282.png)
поскольку неравенство не меняется после циклических перестановок. Чтобы не мучаться пониманием, почему это верно, можно сделать указанную мной замену. Вы согласны, что после неё неравенство доказано?
по-моему, можно так:
К общему знаменателю и записываем как
![$(a+b+c+d)^4\ge 64(a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc)$ $(a+b+c+d)^4\ge 64(a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/1/091c0556fc5d760237b234c1b96df24682.png)
Дальше раскрываем скобки, группируем по кучкам для АМ-ГМ, применяем Шура ( чтобы избавится от слагаемого
![$abcd$ $abcd$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/8/7f802134351303571cdfc6f2a8ceff7f82.png)
слева), ну и АМ-ГМ добиваем его)
Попробуйте, но это всё очень сложно (кстати, Шур работает для симметрических неравенств, а у нас - циклическое
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
).
Если Вы такой уж любитель сложных вычислений, то можно и так доказать:
Поскольку неравенство циклическое, то можно положить
![$a=\min\{a,b,c,d\}$ $a=\min\{a,b,c,d\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/b/a9bace61683809a5685213b7fcedc3e982.png)
.
Тогда
![$b=a+x$ $b=a+x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/7/7e74ef2c9f03bea4309495c7af0afae682.png)
,
![$c=a+y$ $c=a+y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/4/ba499ad889dc346968ce663a40ea980682.png)
и
![$d=a+z$ $d=a+z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/e/01eb3bd5df389b4b86c61a2378eca71082.png)
, где
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
,
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
и
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
неотрицательны.
Подставляем в Ваш гомогенизированный вид исходного неравенства, раскрываем скобки, приводим подобные члены и получаем что-то совершенно очевидное.
Удачи! (но проще, имхо, понять моё первое доказательство).
А можно как-нибудь без перестановочного неравенства?
Можно! Смотрите выше моё второе доказательство (точнее его идею, реализация за Вами!)
Я их пока еще не знаю.
Могу научить если хотите, хотя Вы можете прочитать о нём в Википедии, например.