Непрерывна и Дифференцируемая функция

[myra_panama]

Пусть f , кусочно непрерывно и дифференцируемая функция на интервале $[0,a]$ и $f(0)=0$ , доказать ,что
$\int\limits_{0}^{a}|f'(t)f(t)|dt\le\frac{a}2\int\limits_{0}^{a}|f'(t)|^2dt$
Когда имеет место равенства?

[myra_panama]

есть какие идеи...?

(Оффтоп)

$f'(t)f(t)=\frac12(f^2(t))'$

[Gortaur]

myra_panama
Пока никого умного нет, предложу глупую - допустим, у нас конечно число интервалов, на которых $(f^2)'$ меняет знак, тогда первый интеграл разобьется на 2 интеграла и ...

[ИСН]

Забыть про модуль.
Вычесть линейный вклад и обсуждать функцию $g(t)=f(t)-c\cdot t,\,g(0)=g(a)=0$. Тогда всё как-то - - -
Потом вспомнить про модуль и там отмазаться от него.

[myra_panama]

ИСН в сообщении #461067 писал(а):

обсуждать функцию $g(t)=f(t)-c\cdot t,\,g(0)=g(a)=0$

Может , $g(x)=\int_{0}^{x}|f'(t)|dt$?

[ИСН]

Если это предложено в качестве меры отмазывания от модуля - наверное, сойдёт.

[myra_panama]

ИСН в сообщении #461067 писал(а):

Вычесть линейный вклад и обсуждать функцию $g(t)=f(t)-c\cdot t,\,g(0)=g(a)=0$. Тогда всё как-то - - -

(Оффтоп)

извиняюсь за поворот

Как можно использовать функцию g(t) ? Что будем использовать...?

[ИСН]

Ну, переписать желаемое неравенство в терминах g(t), полностью исключив f.

[myra_panama]

ИСН в сообщении #466181 писал(а):

Ну, переписать желаемое неравенство в терминах g(t), полностью исключив f.

(если не секрет)

ИСН, почему у вас такая логика , имею ввиду ,что вы очень кратко и слышком логично пишите?

хоршо .. если я вас правильно понял , то сделаем так :
$f(t)=g(t)+ct=g(t)+ct+g(a)-g(0)=g(t)+ct+\int\limits_0^{a}g'(t)dt$
если так , то дальше надо подставит в неравенству или,,,,,

[ewert]

Что нужно сделать безусловно: убрать соответствующей заменой $a$, т.е. доказывать неравенство $\int\limits_0^1|2f'(x)f(x)|\,dx\leqslant\int\limits_0^1\left(f'(x)\right)^2\,dx$ (модуль справа не нужен, т.к. для комплекснозначных функций неравенство всё равно неверно).

Во-вторых, да, заменить функцию на её вариацию, чтобы избавиться от модуля слева..

В-третьих (пустячок, конечно, но довольно полезный): из-за однородности неравенства достаточно считать, что $f(1)=1$. Таким образом, все сводится к неравенству $\int\limits_0^1\left(f'(x)\right)^2\,dx\geqslant1$ при условиях $f(0)=0$ и $f(1)=1..

Ну тут уж достаточно сделать подстановку $f(x)=g(x)+x$, и после раскрытия скобок всё становится очевидным.

[myra_panama]

ewert в сообщении #466355 писал(а):

Ну тут уж достаточно сделать подстановку $f(x)=g(x)+x$, и после раскрытия скобок всё становится очевидным.

Спасибо уж понял ... Если подставит f(x) в интеграл , то

$$\int\limits_0^1\left(g'(x)\right)^2\,dx\geqslant0$$

.

-- Пт июл 08, 2011 13:11:56 --

Подобную задачу нашел из книгу Садовничий ... прошу помогать... не хотел новую тему создать,..

Задача. Функция $f(x)$ имеет непрерывную первую производную на отрезе [0,1]. Доказать , что

$$\int\limits_0^1|f(x)|dx\le \max{(\int\limits_0^1|f'(x)|dx ,|\int\limits_0^1 f'(x)dx|)}.$$