Что нужно сделать безусловно: убрать соответствующей заменой
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, т.е. доказывать неравенство
![$\int\limits_0^1|2f'(x)f(x)|\,dx\leqslant\int\limits_0^1\left(f'(x)\right)^2\,dx$ $\int\limits_0^1|2f'(x)f(x)|\,dx\leqslant\int\limits_0^1\left(f'(x)\right)^2\,dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/c/fcc27191940fce01e4e63ffd74f5620782.png)
(модуль справа не нужен, т.к. для комплекснозначных функций неравенство всё равно неверно).
Во-вторых, да, заменить функцию на её вариацию, чтобы избавиться от модуля слева..
В-третьих (пустячок, конечно, но довольно полезный): из-за однородности неравенства достаточно считать, что
![$f(1)=1$ $f(1)=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/7/2b72b9689aa3fb21bbd17543d15be8c882.png)
. Таким образом, все сводится к неравенству
![$\int\limits_0^1\left(f'(x)\right)^2\,dx\geqslant1$ $\int\limits_0^1\left(f'(x)\right)^2\,dx\geqslant1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/9/01957510788b76d4c9a3f2d949d5278b82.png)
при условиях
![$f(0)=0$ $f(0)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/6/e268b9e5eb7e92d106747c1223c703c782.png)
и $f(1)=1..
Ну тут уж достаточно сделать подстановку
![$f(x)=g(x)+x$ $f(x)=g(x)+x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/1/551a151a7b639b51e9ce6c2ed17b93d382.png)
, и после раскрытия скобок всё становится очевидным.