Многочлен Бернулли

[myra_panama]

Многочлен(Полином) Бернулли определяется следующем образом:
$\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n+1}^{k}}B_k(t)=(n+1)t^n,$
где , функции $B_0,B_1,...,B_n$ - полиномы Бернулли ($\forall n$)
Доказать , что
a) $B'_n=nB_{n-1} , n\ge 1$
b)$B_n(t+1)-B_n(t)=nt^{n-1}$
c)$B_n(1-t)=(-1)^nB_n(t)$

[мат-ламер]

По индукции не пробовали?

[myra_panama]

мат-ламер в сообщении #460305 писал(а):

По индукции не пробовали?

Я вот не пойму как то ..... Как с начало найти $B_k(t)$? или это не нужно....

[мат-ламер]

Я бы сначала разобрал подробно случай для небольших $n$. Рассмотрите сначала случай $n=0$, затем $n=1$. А там по обстоятельствам.

[myra_panama]

мат-ламер в сообщении #460337 писал(а):

Я бы сначала разобрал подробно случай для небольших $n$. Рассмотрите сначала случай $n=0$, затем $n=1$. А там по обстоятельствам.

Хорошо ....
при n=1 имеем:
$C_{2}^{0}B_0(t)+C_{2}^{1}B_1(t)=2t$ -> $B_0(t)+2B_1(t)=2t$
отсюда вытекает ли первое равенства ?

[мат-ламер]

План дейстий такой. Во-первых начните с $n=0$. Далее пробуем найти многочлены Бернулли для первых начачальных $n$. Далее пробуем определить вид этих многочленов не рекурентно. Если не получится, то см. в Википедии статью про эти многочлены.

-- Пн июн 20, 2011 22:25:49 --

Ещё вариант. Смотрим книгу Прасолова. Многочлены. Параграф 15. Там всё элементарно доказывается. Вводится понятие производящей функции для этих многочленов.

[myra_panama]

Спасибо , не викепедил..

[Goldcoding]

Может кому понадобится программа реализующая многочлен Бернулли, вот ссылочка: http://goldcoding.net/DoneProggrams/PreviewProgram/18