Задача на динамику про движение точки по окружности

[Alfucio]

Здравствуйте!

Пытаюсь решить следующую задачу на динамику:
Точка M весом P движется в вертикальной плоскости zOx по окружности радиуса R от точки A к точке B. На т. M действует сила трения скольжения $F_0 = const$. Написать дифференциальные уравнения движения т. M, обосновать выбор начальных условий. Найти реакцию поверхности на т. M при $\varphi = \varphi_0$.



Для решения задачи я решил использовать уравнение Лагранжа II рода (правомерно ли это здесь и эффективно ли?).

Я ввел обобщенную координату $q = \varphi$, где $\varphi$ — угол поворота «виртуального тела» OM (где точка O — центр окружности). Данной координаты достаточно, чтобы однозначно определить положение точки M.

Из формулы распределения скоростей следует, что $\[{V_M} = R\dot \varphi \]$.

Тогда кинетическая энергия точки M находится по следующей формуле: $\[T = \frac{{P{R^2}{{\dot \varphi }^2}}}{{2g}}\]$.

На точку M воздействуют следующие силы: вес $\overline P $, сила трения $\overline F_0$, сила реакции поверхности $\overline N$.

Я ищу левую часть для уравнения Лагранжа II рода:
$\[\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot \varphi }}} \right) - \frac{{\partial T}}{{\partial \varphi }} = \frac{{P{R^2}}}{g}\ddot \varphi \]$.

Ищу обобщенную силу:
$\[{Q_\varphi } = \frac{{P\sin \varphi \delta r - {F_o}\delta r}}{{\delta \varphi }} = \frac{{P\sin \varphi R\delta \varphi - {F_o}R\delta \varphi }}{{\delta \varphi }} = P\sin \varphi R - {F_o}R\]$

Получаю уравнение Лагранжа II рода:
$\[\ddot \varphi = \frac{g}{R}\sin \varphi - \frac{{g{F_o}}}{{P \cdot R}}\]$.


Начальные условия: $\varphi (0) = 0$ (так показано на рисунке), $\dot \varphi (0) = {\omega _0} > 0$ (начальная угловая скорость должна быть больше нуля, так как иначе точка M не выйдет из своего положения неустойчивого равновесия, то есть из точки A).

При $\varphi = {\varphi _0}$ на точку действуют все описанные выше три силы. Геометрически вычислим, что сила реакции поверхности будет равна следующему выражению: $\[N = \cos {\varphi _0}P\]$.

Подскажите, пожалуйста:
1) Правильно ли я решаю задачу? Верно ли используя формулу распределения скоростей и использую ее? Правильно ли я понял условия задачи? :)
2) Правильно ли делаю, что не учитываю центростремительное ускорение (и будет ли оно здесь)?
3) Правильно ли я обосновал начальные условия?

Заранее спасибо!

[мат-ламер]

Alfucio в сообщении #459845 писал(а):

Геометрически вычислим, что сила реакции поверхности будет равна следующему выражению: $\[N = \cos {\varphi _0}P\]$.

Подскажите, пожалуйста:

2) Правильно ли делаю, что не учитываю центростремительное ускорение (и будет ли оно здесь)?

А я в этом месте его бы учитывал. (Остальное пока не прочёл).

[Alfucio]

Самая главная проблема для меня в том, что я не могу понять, как движется точка: или она просто скатывается с этой окружности, либо же она движется под воздействием еще какой-то силы?..

[Alfucio]

У меня тогда есть другая версия суждений, которая мне кажется более верной (некрасиво, конечно, звучит: «более верное»):

Пусть $\varphi = {\varphi _0}$. Известно, что точка движется по окружности. Мы знаем, что тогда ее нормальное (центростремительное) ускорение (ускорение, направленное к точке O, к центру окружности) может быть вычислено по формуле: $\[{a_n} = \frac{{V_M^2}}{R} = \frac{{{R^2}{{\dot \varphi }^2}}}{R} = R{\dot \varphi ^2}\]$.

Для точки выполняется второй закон Ньютона: $\[\overline F = m\overline a \]$.

Спроектируем (1.347) на ось, перпендикулярную OM: $\[F = m{a_n}\]$, $\[F = mR{\dot \varphi ^2}\]$.

Это означает, что точка действует в направлении касательной к окружности с такой силой. По третьему закону Ньютона это и будет реакция поверхности на точку M: $\[N = mR\dot \varphi _1^2\]$, где ${\dot \varphi _1} = {\omega _1}$ — угловое ускорение стержня OM при $\varphi = {\varphi _0}$.

Подскажите, пожалуйста, так верно?

[Утундрий]

Alfucio в сообщении #459901 писал(а):

Спроектируем (1.347) на ось, перпендикулярную OM

Лучше на саму ОМ.

[мат-ламер]

Alfucio в сообщении #459857 писал(а):

Самая главная проблема для меня в том, что я не могу понять, как движется точка: или она просто скатывается с этой окружности, либо же она движется под воздействием еще какой-то силы?..

На тело действует силы трения и силы тяжести.

[Alfucio]

Утундрий в сообщении #459906 писал(а):

Alfucio в сообщении #459901 писал(а):

Спроектируем (1.347) на ось, перпендикулярную OM

Лучше на саму ОМ.

Да, конечно, на OM... Я так и сделал, только написал наоборот :), извините. Но тогда верно получается?

[Утундрий]

Alfucio
Оно может и верно, да больно замысловато. Вы там, кажись, тихонько в неинерциальную СО перешли и быстренько назад вернулись, пока никто не заметил? Иначе трудно понять откуда взялась сила инерции. Вы лучше просто в неподвижной ИСО силу реакции выпишите. Считайте ее направленной по нормали к окружности и численно таковой, дабы тело окружности не покидало.

[Alfucio]

Утундрий в сообщении #459915 писал(а):

Alfucio
Оно может и верно, да больно замысловато. Вы там, кажись, тихонько в неинерциальную СО перешли и быстренько назад вернулись, пока никто не заметил? Иначе трудно понять откуда взялась сила инерции. Вы лучше просто в неподвижной ИСО силу реакции выпишите. Считайте ее направленной по нормали к окружности и численно таковой, дабы тело окружности не покидало.

Если я правильно понимаю (и как пишет мат-ламер), то на тело действует две силы: сила трения и сила тяжести. Тогда проецируя эти силы на OM, получаем, что $N = \cos\varphi_0 \cdot P$, как я писал в самом начале?

[Утундрий]

Ну да, реакция векторно равна нормальной составляющей силы тяжести, взятой с обратным знаком.

А сил на тело действует всё-таки три: трения, тяжести и реакции. Хотя в уравнение для определения $\varphi (t)$ последняя и не входит.

[Alfucio]

Утундрий в сообщении #459951 писал(а):

Ну да, реакция векторно равна нормальной составляющей силы тяжести, взятой с обратным знаком.

А сил на тело действует всё-таки три: трения, тяжести и реакции. Хотя в уравнение для определения $\varphi (t)$ последняя и не входит.

Да, действительно, три... (я в самом первом сообщении об этом писал, а потом забыл... :) ). Спасибо Вам, Утундрий, мат-ламер!

[мат-ламер]

Я не понял, за что мне спасибо. Какую-то чушь нёс.

Alfucio в сообщении #459857 писал(а):

Самая главная проблема для меня в том, что я не могу понять, как движется точка: или она просто скатывается с этой окружности, либо же она движется под воздействием еще какой-то силы?..

Я вот тоже не понимаю, как движется точка в начале пути? Какая-то потусторонняя сила должна тут присутствовать.

[Утундрий]

мат-ламер
Да связь же изначально задана.

[мат-ламер]

Alfucio. А Вы дифференциальное уравнение составили? Элементарно уравнение получается из второго закона Ньютона. Решение его не вполне элементарно (но и не просили). Подумайте, точка М дойдёт до точки В, или в какой-то момент оторвётся от окружности?

-- Пн июн 20, 2011 21:36:16 --

Утундрий в сообщении #460356 писал(а):

мат-ламер
Да связь же изначально задана.

Я имел в виду, что на некотором начальном участке пути скатывающая сила будет меньше силы торможения (последняя постоянна).

[Утундрий]

Вообще-то, до сих пор так и не ясно - в течение всего ли процесса тело движется по окружности? Реализовать сие не шибко сложно - запихнуть его внутрь тороида и всего делов.