Составить уравнение параболоида

[Алексей К.]

Получилось $z^2+3xz-yz+6x+2y-4=0$ (но решал я по-своему, без этих базисных векторов и u,v). Вроде и гиперболично, и параболоидно.

[skliar_pavlo]

Алексей К. в сообщении #458558 писал(а):

Получилось $z^2+3xz-yz+6x+2y-4=0$ (но решал я по-своему, без этих базисных векторов и u,v). Вроде и гиперболично, и параболоидно.

У в общем вышло так : -v + 3u = (Ваше решение) То есть мой путь тоже верен вроде как, но вот как я мог прийти к коефициентам -1 и 3 непойму. Еще подумаю. Может намекнете как Вы решали?

[Алексей К.]

Легко. И я намекал раньше. И Вы последовали моему намёку, только взяли всю кучу уравнений и неизвестных. А я по мере возможности выражал какие-то коэффициенты через другие. Я не сохранил промежуточных результатов, но сохранил свою итоговую квадратичную форму:

$$4(a_{13}+3a_{23})xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz-2a_{23}z^2+4a_{13}x-4a_{23}y+8a_{23}=0. \eqno(1)$$

Это значит, например, что когда-то я получил $a_{33}=-2a_{23}$ или $b_4=8a_{23}$, и сразу подставил в форму. Потом проверял следующее условие, ещё что-то выцарапал. Где-то образовалось $b_3=0$, и т. д.
Определитель матрицы $a_{ij}$, которую легко выписать из (1), получился равным

$$a_{23}(2a_{23}+a_{13})(3a_{23}+a_{13}).$$

Приравняем его нулю, как того затребовал справочник, в который я залез, чтобы узнать, кто такой параболоид...

-- 17 июн 2011, 13:55 -- (это начальник заходил, пальчиком погрозил...)

Пробуем $a_{23}=0$. Подставляем в форму (1). Видим, что результат разлагается на два линейных множителя, $x(\ldots)=0$. Значит, не параболоид, а пара плоскостей.

Пробуем $a_{13}=-2a_{23}$...

[Алексей К.]

skliar_pavlo в сообщении #459056 писал(а):

То есть мой путь тоже верен вроде как, но вот как я мог прийти к коефициентам -1 и 3 непойму.

Так же. Через определитель. Более того, при каких-то базисных векторах Ваши u,v могут ровно совпадать с моими двумя оставшимися коэффициентами. И определитель должен так же на 3 множителя разложиться.

[vvvv]

Кстати, эту же задачу решают однополостные гиперболоиды, например такие:
$z^2-yz-6xy+2y-4=0$
$z^2-yz-zx-8xy-2x+2y-4=0$

[Алексей К.]

vvvv в сообщении #459667 писал(а):

Кстати, эту же задачу решают однополостные гиперболоиды

Даже трёхполостной гиперболоид не решает ЭТУ задачу:

skliar_pavlo в сообщении #457115 писал(а):

Составить уравнение параболоида,

Тем более какой-то там однополостной.
Решение задачи, как следует из приведённого решения, единственно.

[vvvv]

Алексей К. в сообщении #459669 писал(а):

vvvv в сообщении #459667 писал(а):

Кстати, эту же задачу решают однополостные гиперболоиды

Даже трёхполостной гиперболоид не решает ЭТУ задачу:

skliar_pavlo в сообщении #457115 писал(а):

Составить уравнение параболоида,

Тем более какой-то там однополостной.
Решение задачи, как следует из приведённого решения, единственно.

А Вы проверили?

[Алексей К.]

Нет, не проверил: я Вам поверил, что это гиперболоиды.
Или да, проверил: залез в справочник, посмотрел, гиперболоиды отдельно, котлеты отдельно.

[vvvv]

Алексей К. в сообщении #459677 писал(а):

Нет, не проверил: я Вам поверил, что это гиперболоиды.
Или да, проверил: залез в справочник, посмотрел, гиперболоиды отдельно, котлеты отдельно.

Не в том смысле проверить.Имеется в виду, подставить в уравнение координаты заданных точек и уравнения прямых.
Ваше уравнение я так и проверил.Кстати, уравнение другого гиперболического параболоида ( решающего задачу) я не нашел,- только такое как у Вас.

[Алексей К.]

Семейство поверхностей второго порядка, проходящих через заданные точки и прямые, приведено выше:

Алексей К. в сообщении #459065 писал(а):

$$4(a_{13}+3a_{23})xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz-2a_{23}z^2+4a_{13}x-4a_{23}y+8a_{23}=0. \eqno(1)$$

Думаю, Ваши два примера туда легко впишутся. И ещё пару дюжин можно наковырять.

[vvvv]

Ваше уравнение верно.Я пришел к такому же - взял по три точки на каждой прямой и две заданные точки.Записал систему из восьми
уравнений с десятью неизвестными.Свободные переменные $a_{13}$ и $a_{23}$. Правда это уравнение включает и плоскости при некоторых значениях $a_{13}$ и $a_{23}$.

[Алексей К.]

Об этом тоже уже говорилось:

Алексей К. в сообщении #459065 писал(а):

Пробуем $a_{23}=0$. Видим, что результат разлагается на два линейных множителя, $x(\ldots)=0$. Значит, не параболоид, а пара плоскостей.

Пробуем $a_{13}=-2a_{23}$...

[vvvv]

Вот гиперболический параболоид, содержащий две заданные прямые и две точки. Образован движением прямой линии по трем прямым
линиям (две из которых даны).