Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых

[nnosipov]

$4x^4-xy^3-8x^2-y^2+4=0$.

Задача решается вполне элементарно, прошу попробовать.

[Sonic86]

Приводим к виду $4(x^2-1)^2=y^2(xy+1)$.
Далее - подстановка $t^2=xy+1$. Перебирая отдельно $x=0;-1$, получаем решения $(-1;0),(-1;1),(0;2),(0;-2)$. В остальных случаях $x \neq 0$ и $x^2-1 \geq 0$, а значит можно выразить $y=\frac{t^2-1}{x}$ и при извлечении корня получить равносильное уравнение:
$2(x^2-1)=\frac{t^2-1}{x}t \Leftrightarrow 2(x^3-x)=t^3-t$. У него можно найти решение при $x=3$.
Дальше не получается

(Оффтоп)

...говорила мне мама: "Не решай, сынок, диофантовы уравнения"....

[nnosipov]

Sonic86, неплохое начало. То уравнение, что Вы получили, вполне можно исследовать, нужно только одну вещь не забыть.

[nnosipov]

Ну хорошо, давайте ещё технически упростим: пусть будет уравнение

$$ 2x^4-xy^3+x^2-y^2-1 = 0. $$

Здесь совсем прозрачно, прошу убедиться.

[nnosipov]

Всё-таки, господа, это слишком просто или это совсем неинтересно или что-то ещё? Выскажите свои мнения/впечатления, please (где ещё, как не на таких форумах, обсуждать эти вещи).

[Sonic86]

nnosipov, я пас, мозгов не хватает. Хотя я догадываюсь, что Вы имели ввиду не то решение, с которого я начал, все равно пас.
А вообще, что Вы хотите - диофантово уравнение 4-й степени и т.п.

[nnosipov]

Sonic86, спасибо. Но эти штуки, конечно, на любителя (мне кажется просто, а на самом деле может быть и нет). Пока подожду с выкладыванием решения, вдруг кто-нибудь всё-таки сподобится и напишет (как всегда, меня интересуют разные подходы). А потом прошу полюбопытствовать.

[Sonic86]

(Оффтоп)

с моей точки зрения лучше подождать

[Edward_Tur]

nnosipov в сообщении #457823 писал(а):

Ну хорошо, давайте ещё технически упростим: пусть будет уравнение

$$ 2x^4-xy^3+x^2-y^2-1 = 0. $$

Здесь совсем прозрачно, прошу убедиться.

Так и прозрачно!
Запишем так: $y^2(xy+1)=(x^2+1)(2x^2-1)$.
Поскольку пары $(y^2,xy+1)$ и $(x^2+1,2x^2-1)$ взаимно просты, то приходим к двум системам уравнений, одна из которых имеет решение $(1,1)$.

[nnosipov]

Edward_Tur, напишите подробно, не сочтите за труд. Возможно, я имел в виду другую прозрачность (во всяком случае, в таком виде я уравнение не записывал).

Да, и не системы $y^2=x^2+1$, $xy+1=2x^2-1$ и $y^2=2x^2-1$, $xy+1=x^2+1$ ли Вы имели в виду? Переход к ним надо ещё обосновать.

[Edward_Tur]

nnosipov в сообщении #460943 писал(а):

Да, и не системы $y^2=x^2+1$, $xy+1=2x^2-1$ и $y^2=2x^2-1$, $xy+1=x^2+1$ ли Вы имели в виду? Переход к ним надо ещё обосновать.

Ошибся, обоснования нет!

[age]

Ну по-моему $4x^4-xy^3-8x^2-y^2+4=0$ в натуральных числах эквивалентно системе:

$\begin{cases} y^2-4\div x\\ 2(x^2-1)\div y \end{cases} $

[nnosipov]

age в сообщении #461280 писал(а):

Ну по-моему $4x^4-xy^3-8x^2-y^2+4=0$ в натуральных числах эквивалентно системе:

$\begin{cases} y^2-4\div x\\ 2(x^2-1)\div y \end{cases} $

Интересная идея! К сожалению, воплотить её будет затруднительно. Действительно, из уравнения вытекают обе эти делимости, но обратное утверждение уже неверно. Это было бы не так важно, если бы система указанных делимостей была обозримой, а в нашем случае этого, увы, нет. Тем не менее, вот пример уравнения, где Ваша идея вполне эффективна:

$$ x^4-2xy^3+2x^2+y^2+1=0. \eqno(*) $$

Здесь $x^2+1$ делится на $y$ и $y^2+1$ делится на $x$. Как хорошо известно, это бывает только если $x^2+y^2+1=3xy$ (правда, доказательство не совсем простое). Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, и не составит труда убедиться в неразрешимости этой системы. Казалось бы, можно радоваться появлению новой интересной задачи (по-крайней мере, имеющей два совершенно разных и нетривиальных подхода к решению), но не тут-то было: уравнение $(*)$ банально неразрешимо ... по модулю $16$! (И это даже не факториал, увы.)

[nnosipov]

А что скажете о таком уравнении:

$$ 2x^4-xy^3+y^3-y^2=0? $$

Вполне вероятно, здесь есть "левый" путь решения, уравнение совсем уж коротенькое. Было бы интересно и его найти.

[nnosipov]

А о таком:

$$ y^4-4x^4+y^3+x=0? $$

Здесь вообще всё шито белыми нитками.