Фунционал и функция (терминология)

[Stotch]

Объясните пожалуйста чем функционал отличается от функции??можете пожалуйста привести примеры функционала и функции

[Joker_vD]

В основном только названием. Установилась традиция называть функцией отображение из множества чисел во множество чисел, а функционалом — отображение из какого-то бесконечномерного пространства во множество чисел.
Пример функции: $f\colon \mathbb C \to \mathbb C$, $f(x)=x^2$.
Пример функционала: $K\colon L_2[0,1] \to \mathbb R$, $K(f)=\int\limits_0^1 f^2(x)dx$.

[Stotch]

А $L_2$ и $R$ это что?а разве K это не функция тоже?

[Tlalok]

Если совсем простым языком то функция это когда какому-то числу по какому-либо правилу ставится в соответствие число.
Например, закон $y=x^2$
Числу 1 соответствует число 1
Числу 2 соответствует число 4
и т.д.
Функционал - это когда какой-либо функции по какому-либо правилу ставится в соответствие число.
Например, закон$ J\left[ {y\left( x \right)} \right] = \int\limits_0^1 {ydx}$
Функции $y(x)=x$ соответствует число $y\left( x \right) = x,\,J\left[ {y\left( x \right)} \right] = \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{1}{2}$
Функции $y(x)=7x$ соответствует число $y\left( x \right) = x,\,J\left[ {y\left( x \right)} \right] = \int\limits_0^1 {7xdx} = \frac{7}{2}$
Функции $y(x)=e^x$ соответствует число $y\left( x \right) = {e^x},\,J\left[ {y\left( x \right)} \right] = \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e-1$

[caxap]

Stotch
Функция, отображение, оператор, функционал, морфизм, форма... -- это всё синонимы. Но есть некоторые и довольно размытые соглашения: например, функционал -- это то, у чего область значений "числа" (обычно поля), оператор отображает векторные пространства в векторные пространства (напр. функции в функции), морфизмом обычно называют гомоморфизм, форма -- то, что можно представить многочленом и т. д. Но не надо это рассматривать как точные определения и даже не надо это определение давать: всегда найдутся исключения (да и... что такое числа? а линейная функция $\mathbb R\to\mathbb R$ -- это оператор, функционал или форма?..) Поэтому, я вам от чистого сердца советую просто считать всё это синонимами. Меньше проблем будет.