Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2

[age]

scwec в сообщении #459426 писал(а):

Пусть $a^2+b^2=c^2$. Если $a,b,c$ - натуральные числа, то $S=\frac{ab}{2}$ и $K=ac$ - конгруэнтные числа.
Справедливы
Тождество 1. $a^2b^2(2c)^4+(b^2-a^2)^4=(c^4+4a^2b^2)^2$.
Тождество 2. $(a^2+c^2)^4-a^2c^2(2b)^4=(b^4-4a^2c^2)^2$.

$(a^2+c^2)^4-a^2c^2(2b)^4\neq(b^4-4a^2c^2)^2$ Хотя бы обратите внимание на степень $b$ в левой и правой части.

[nnosipov]

Да, в обоих тождествах что-то не так. Я же имел в виду такие тождества:

$$ m^2(m^2 \pm n^2)^4 \mp 16m^4n^2(m^2 \mp n^2)^2=m^2(m^4 \mp 6m^2n^2+n^4)^2 $$

(знаки соответствующие).

[age]

nnosipov в сообщении #459687 писал(а):

$$ m^2(m^2 \pm n^2)^4 \mp 16m^4n^2(m^2 \mp n^2)^2=m^2(m^4 \mp 6m^2n^2+n^4)^2 $$

Тогда чтобы получить Ваше уравнение $x^4-157^2y^4=z^2$ необходимо, чтобы $n(n^2-1)=157$. Но $157$ - простое число, поэтому не катит.

Т.е. ваше решение лишь описывает решения вида (в начальных обозначениях) $n=(a-m)a(a+m)$, где $m$ - любое число, $n$ - произведение трёх равноотстоящих чисел.

[nnosipov]

Чтобы найти то решение уравнения $x^4-157^2y^4=z^2$, что я привёл выше, надо много чего знать. Это очень непростая задача. А тождества я указал для того, чтобы показать, как могли бы быть решены 1-е пункты задач swec.

[age]

nnosipov в сообщении #459712 писал(а):

Чтобы найти то решение уравнения $x^4-157^2y^4=z^2$, что я привёл выше, надо много чего знать.

Простите, а чтобы найти решение $x^4-y^4=z^2$ надо тоже много чего знать?

[nnosipov]

age в сообщении #459715 писал(а):

Простите, а чтобы найти решение $x^4-y^4=z^2$ надо тоже много чего знать?

Нет, это уравнение исследуется совсем элементарно. Разница между ними огромна.

[age]

nnosipov в сообщении #459718 писал(а):

Нет, это уравнение исследуется совсем элементарно. Разница между ними огромна.

Очевидно что это Ваша индивидуальная точка зрения. Для того же, кто впервые исследовал $x^4-y^4=z^2$ надо тоже было "много чего знать". А он не знал.

[scwec]

age, тождества справедливы при условии, что $a^2+b^2=c^2$. Об этом было заявлено в начале моего сообщения. В этом и состоит идея решения уравнений. Она, возможно была не понята, поэтому подробно излагаю ход решения.
1. Предполагается, что известно рациональное решение уравнения $A^2+B^2=C^2$ такое что $AB=mn$.
2. Рациональное решение $A,B,C$ превращаем в целое $a,b,c$ умножением на общий знаменатель $d$. При этом $AB=mn$ превращается в $ab=d^2mn$.
3. Тождество 1. выглядит теперь так: $m^2n^2(2cd)^4+(b^2-a^2)^4=(c^4+4a^2b^2)^2$
4. Умножаем тождество 1. на $n^2$ и получаем: $m^2(2cdn)^4+n^2(b^2-a^2)^4=(c^4n+4a^2b^2n)^2$.
5. Полагаем $x=2cdn, y=|b^2-a^2|, z=c^4n+4a^2b^2n$
Решение найдено.
Аналогичная процедура и с другим уравнением.
В случае второго уравнения при $m=1,n=157$ берется готовое решение D.Zagier, которое само по себе было получено совсем не просто и нужно было для этого "много чего знать", и к нему применяется формальная процедура подобная изложенной. Не вижу пока смысла повторять описание.

[nnosipov]

scwec в сообщении #459777 писал(а):

age, тождества справедливы при условии, что $a^2+b^2=c^2$.

Действительно, я тоже как-то не обратил внимание на это. Если в первом тождестве заменить $c^2$ на $a^2+b^2$, а во втором тождестве заменить $b^2$ на $c^2-a^2$, то получится тоже, что и у меня, только в других обозначениях.

Для age: конечно, можно пытаться, надеясь на какую-то удачу, поконкурировать с Цагиром и найти решение уравнения $x^4-157^2y^4=z^2$, но без глубоких знаний в соответствующем предмете такие попытки, скорее всего, будут безуспешными. С другой стороны, доказать отсутствие нетривиальных решений у уравнения $x^4-y^4=z^2$ сравнительно легко. Конечно, во времена Ферма так не казалось, но это совсем не означает, что эти две задачи --- одного порядка сложности.

[age]

scwec в сообщении #459777 писал(а):

В случае второго уравнения при $m=1,n=157$ берется готовое решение D.Zagier, которое само по себе было получено совсем не просто и нужно было для этого "много чего знать", и к нему применяется формальная процедура подобная изложенной.

nnosipov в сообщении #459924 писал(а):

Для age: конечно, можно пытаться, надеясь на какую-то удачу, поконкурировать с Цагиром и найти решение уравнения $x^4-157^2y^4=z^2$, но без глубоких знаний в соответствующем предмете такие попытки, скорее всего, будут безуспешными.

Исчерпывающие ответы.