2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение03.06.2011, 21:04 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
$n,m$ -натуральные числа. $n\ne{m}$
Рассматривается "уравнение" относительно $x,y,z$,
$m^2x^4-n^2y^4=z^2$
1. Вопрос 1. Доказать, что если $m^2-n^2$ - полный квадрат, то "уравнение" имеет решение в натуральных числах при $x\ne{y}$. Таким образом, это достаточное условие.
2. Вопрос 2. Найти необходимое и достаточное условие для решения "уравнения"

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение04.06.2011, 15:22 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Пусть $m$, $n$ --- фиксированные натуральные числа. Уравнение $m^2x^4-n^2y^4=z^2$ разрешимо в натуральных числах $x$, $y$, $z$ тогда и только тогда, когда число $S=mn$ является конгруэнтным. В частности, если разность $m^2-n^2$ есть точный квадрат, то число $S$, очевидно, конгруэнтно. В этом случае уравнение $m^2x^4-n^2y^4=z^2$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах $x$, $y$, $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 10:40 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Совершенно точный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 15:44 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
scwec в сообщении #454222 писал(а):
Совершенно точный ответ.

Спасибо за задачу, всегда приятно взглянуть на старый вопрос с несколько иного ракурса. Алаверды: существуют ли такие рациональные числа $a$, $b$ и $c$, что $a^2-b^2=2011=c^2-a^2$? Возможно, этот вопрос покажется Вам занятным, особенно если захочется его решить только элементарными средствами (конечно, число $2011$ здесь не по существу, но это была новогодняя задача :D ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 18:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

А вы Гоголя читали про Чичикова и Манилова? :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 18:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
age в сообщении #454397 писал(а):

(Оффтоп)

А вы Гоголя читали про Чичикова и Манилова? :lol:

(Оффтоп)

Давненько не перечитывал. А что, они там тоже эллиптические кривые обсуждали? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 18:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

Нет, только кто вежливей :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 18:28 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
age, в этой задаче есть красивое тождество, оно-то и даёт возможность элементарно ответить на первый вопрос. Попробуйте его найти, это действительно может быть интересно. (Если хотите, мы эту задачу можем с Вами полностью решить --- подробно, со всеми деталями.) А я пойду перечитывать "Мёртвых душ". :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 20:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov
Да мне это неинтересно. я знаю и выписал решение уравнения. :? Поэтому к чему лично мне конгруэнтные числа? :? Вот если Вы моё уравнение решите с помощью конгруэнтных чисел, а я не смогу. Вот это уже будет интересно. :?

Впрочем, ни о каком "соревновании" речи не идёт, лишь о совместной попытке углубиться от четвёрок и квадратов подальше, к восьмёрочкам, шестёрочкам, кубам и т.д. Скажем

$m^3x^8+n^3y^8=z^2$

или

$m^2x^4+n^2y^4=z^4$

Вот это мне интересно :!: Могут ли помочь конгруэнтные числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 22:23 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
age в сообщении #454439 писал(а):
nnosipov
Да мне это неинтересно. я знаю и выписал решение уравнения. :? Поэтому к чему лично мне конгруэнтные числа? :? Вот если Вы моё уравнение решите с помощью конгруэнтных чисел, а я не смогу. Вот это уже будет интересно. :?

Впрочем, ни о каком "соревновании" речи не идёт, лишь о совместной попытке углубиться от четвёрок и квадратов подальше, к восьмёрочкам, шестёрочкам, кубам и т.д. Скажем

$m^3x^8+n^3y^8=z^2$

или

$m^2x^4+n^2y^4=z^4$

Вот это мне интересно :!: Могут ли помочь конгруэнтные числа?

Ну что же, и вторая моя попытка сагитировать age заняться математикой не увенчалась успехом. Вроде и сюжет классический, если не сказать древний, и не так чтобы всё это было сложно ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение06.06.2011, 08:23 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Для nnosipov в ответ на алаверды - самое интересное, что когда я формулировал две задачи в качестве олимпиадных, то предполагал использовать как-то число $2011$, поскольку оно очень подходит для этого дела - и год, который на дворе и простое число вида $8n+3$, которое не может быть конгруэнтным.
И сначала было так: $m=2011$, $n=1$ и уравнение не должно было иметь решений.
Но потом подумал, что это будет слишком просто и написал так, как сейчас есть.
Не ожидал, что будет сразу ответ и именно такой, какой бы сам написал слово в слово.
Ответ на Вашу задачу - нет не существует таких рациональных $a,b,c$. О причине этого уже сказал выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение06.06.2011, 13:21 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Для scwec немного о случаях элементарного доказательства неконгруэнтности. Помимо упомянутого Вами случая простых $8n+3$, мне известны ещё такие: $2q_1$, $p_1p_2$, $2q_1q_2$, где $p_i \equiv 3 \pmod{8}$, $q_i \equiv 5 \pmod{8}$ --- простые числа. (Формулировки есть, например, в Genocchi A. Sur l'impossibilit\'e de quelques \'egalit\'es doubles // C.R. 1874. T.LXXVIII. P.433-436. Доказательства придумать нетрудно.) Но есть ещё вроде бы сходные результаты Бастьена (L. Bastien), однако их элементарного доказательства я тогда, когда интересовался этими вещами (уже давно, лет 10 назад), найти не смог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение06.06.2011, 16:51 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Для nnosipov: может найдете для себя что-то интересное здесь
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa75/aa7513.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение06.06.2011, 16:55 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
scwec в сообщении #454775 писал(а):
Для nnosipov: может найдете для себя что-то интересное здесь
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa75/aa7513.pdf

Да, действительно интересно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения m^2*x^4-n^2*y^4=z^2
Сообщение06.06.2011, 19:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
age в сообщении #454439 писал(а):
или

$m^2x^4+n^2y^4=z^4$

$5^2\cdot12^4+31^2\cdot7^4=41^4$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group