Матфизика(задача Штурма-Лиувилля)

[mitia87]

mascom в сообщении #457375 писал(а):

Характеристическое уравнение:

$\alpha^2+8 \alpha - \lambda=0$
$\alpha_{1,2} = \frac {-8\pm \sqrt{64+4\lambda}}{2}=-4 \pm \sqrt{16+\lambda}$
Общее решение:
$y=c_1 e^{(-4+ \sqrt{16+ \lambda})x} + c_2 e^{(-4-\sqrt{16+\lambda})x}$.

При решение квадратного уравнения возможны 3 случая!!!
1. $D > 0$
2. $D = 0$
3. $D < 0$

Вы убедились, что первый случай невозможен. Рассмотрите остальные.

[mascom]

ewert в сообщении #459224 писал(а):

Это не задача Штурма-Лиувилля. Формулировка безграмотна: дифуравнение записано не в дивергентной форме (и к тому же перед второй производной не стоит минуса, но это уже не принципиально).

Практически наверняка восьмёрка умножается на саму функцию, а не на производную.

Условия именно такие. Ну а задача подается как "задача Штурма-Лиувилля", хотя возможно и не относится к этому классу. Тогда просьба определить, к какому классу задач она относится :)

-- 18.06.2011, 19:03 --

mitia87 в сообщении #459227 писал(а):

mascom в сообщении #457375 писал(а):

Характеристическое уравнение:

$\alpha^2+8 \alpha - \lambda=0$
$\alpha_{1,2} = \frac {-8\pm \sqrt{64+4\lambda}}{2}=-4 \pm \sqrt{16+\lambda}$
Общее решение:
$y=c_1 e^{(-4+ \sqrt{16+ \lambda})x} + c_2 e^{(-4-\sqrt{16+\lambda})x}$.

При решение квадратного уравнения возможны 3 случая!!!
1. $D > 0$
2. $D = 0$
3. $D < 0$

Вы убедились, что первый случай невозможен. Рассмотрите остальные.

Вообще говоря вы не правы. Я рассмотрел второй. Остальные невозможны, в силу граничных условий.

[mascom]

По поводу комплексного случая:

$c_1e^{-4} e^{i\varphi}=-c_2 e^{-4} e^{-i\varphi} $ перепишем

$e^{2i\varphi}=- \frac{c_2}{c_1}$ подставим граничные условия

$e^{2i\varphi}=e^{4i\varphi}=-\frac{c_2}{c_1}$

Так как $e^{i\varphi}$ функция $2\pi$ периодическая - $\varphi=2n\pi$ где $n \in \mathbb{Z}$

В таком случае $c_1=-c_2$ модуль их значения неизвестен.

$\lambda=-16-\pi^2$

$y=c e^{(-4+ i\pi)x} - c e^{(-4-i\pi)x}$

Беда только в том, что $e^{-4+ i\pi} = e^{-4-i\pi}$

Опять тождественный ноль.

[mitia87]

Ещё раз.
1. $D > 0$ Это случай 2 действительных корней. Из Ваших рассуждений следует, что в этом случае только ... решение.
2. $D = 0$ Как записывается общее решение в случае совпадения корней? Какое решение в этом случае?
3. $D < 0$ Как записывается общее решение в случае совпадения корней.

Напишите, что получится, дальше поможем.

[ИСН]

mascom, Вы только что убедительно доказали, что синусоид не существует (иными словами - что любая синусоида представляет собой тождественный ноль).
Ну-ну.

[mascom]

mitia87 в сообщении #459621 писал(а):

Ещё раз.
1. $D > 0$ Это случай 2 действительных корней. Из Ваших рассуждений следует, что в этом случае только ... решение.
2. $D = 0$ Как записывается общее решение в случае совпадения корней? Какое решение в этом случае?
3. $D < 0$ Как записывается общее решение в случае совпадения корней.

Напишите, что получится, дальше поможем.

В первом случае при наличии 2 действительных корней:

$y(x)=c_1 e^{\alpha_1 x} + c_2 e^{\alpha_2 x}$ где $\alpha_{1,2}=-4 \pm \sqrt{16+\lambda}$ тогда $\lambda>-16$

однако граничные условия дают жёсткие ограничения на $\lambda$

$c_1 e^{(-4+\sqrt{16+\lambda})2}+c_2 e^{(-4-\sqrt{16+\lambda})2}=c_1 e^{(-4+\sqrt{16+\lambda})4}+c_2 e^{(-4-\sqrt{16+\lambda})4}=0$

$-\frac{c_1}{c_2}e^{4\sqrt{16+\lambda}}=1$
$-\frac{c_1}{c_2}e^{8\sqrt{16+\lambda}}=1$ откуда следует вывод
$e^{8\sqrt{16+\lambda}}=e^{4\sqrt{16+\lambda}}$ и если

$\sqrt{16+\lambda}>0$ тогда $e=0$ или $e=1$
но мы то знаем что $e\approx 2,7$ Отсюда следует что это не решение.

Второй случай когда корни совпадают я уже рассмотрел выше, но повторюсь, что в нём $\lambda=-16$ и $y(x)=c_1 e^{-4x}+c_2 e^{-4x}$ и в подстановке граничного условия (любого) $c_1 e^{-8}=-c_2 e^{-8}$ откуда $c_1=-c_2$ Т.е. $y(x)=0$ Не интересно.

В третьем случае, вообще говоря, корни не совпадают, они просто комплексные. Опять-же, его я тоже тут рассмотрел, правда не в каноничном виде: $y(x)=c_1 e^{-4x}\cos{(x|\sqrt{16-\lambda}|)}+c_2 e^{-4x}\sin{(x|\sqrt{16-\lambda}|)}$ граничные условия:

$c_1 e^{-8}\cos{(2|\sqrt{16-\lambda}|)}=-c_2e^{-8}\sin{(2|\sqrt{16-\lambda}|)}$

$c_1 e^{-16}\cos{(4|\sqrt{16-\lambda}|)}=-c_2e^{-16}\sin{(4|\sqrt{16-\lambda}|)}$

$-\frac {c_1}{c_2} \ctg{(2|\sqrt{16-\lambda}|)}=1$

$-\frac {c_1}{c_2} \ctg{(4|\sqrt{16-\lambda}|)}=1$ или

$\ctg{(4|\sqrt{16-\lambda}|)}=\ctg{(2|\sqrt{16-\lambda}|)}$ Это возможно только в том случае когда $|\sqrt{16-\lambda}|=n\pi$ где $n\in \operatorname{Z}$

откуда $\lambda=(n\pi)^2+16$ а вот константы перед экспонентой найти нельзя...

-- 19.06.2011, 21:44 --

ИСН в сообщении #459721 писал(а):

mascom, Вы только что убедительно доказали, что синусоид не существует (иными словами - что любая синусоида представляет собой тождественный ноль).
Ну-ну.

Я не совсем понял, как так получилось. Можете указать подробнее, где именно я это доказал?

[mitia87]

Допустим, что первый и второй пункт правильно. В третьем Вы получили (не надо лишних модулей):
$c_1\cos{(2\sqrt{\lambda - 16})}=-c_2\sin{(2\sqrt{\lambda - 16})}$
$c_1 \cos{(4\sqrt{\lambda - 16})}=-c_2\sin{(4\sqrt{\lambda - 16})}$

1. Покажите, что $c_1 = 0$. Распишите двойные углы во втором равенстве и подставьте из первого выраженный синус.

(Оффтоп)

$ \cos{(4|\sqrt{\lambda - 16})} = 2 \cos^2{(2\sqrt{\lambda - 16})} - 1, \sin{(4\sqrt{\lambda - 16})} = 2 \sin{(2\sqrt{\lambda - 16})}\cos{(2\sqrt{\lambda - 16})}$

2. Из того, что решение не должно быть нулевым, получите уравнение:
$\sin(2\sqrt{\lambda - 16}) = 0$
Решив его, получите возможные значения собственного значения

(Оффтоп)

$\lambda_k= 16 + \frac{\pi^2 k^2}{4} \text{ при } k \geq 1.$

3. Запишите решение в этом случае.