Рассмотрим уравнения
1.

(по предложению
age)
2.

Для того, чтобы 1. решалось в натуральных числах необходимо, чтобы

были конгруэнтными числами.
Для того, чтобы 2. решалось в натуральных числах необходимо, чтобы

были конгруэнтными числами.
Эти условия получаются следующим образом:
Пусть

,

- натуральные числа.
Тогда конгруэнтными числами являются:

,

Действительно, положим

,

,



т.е.

- конгруэнтное число.
Для

то же самое.
Уравнение 1. записывается как

Тогда

,

,

, а стало быть и

- конгруэнтные числа.
Аналогичные действия и с уравнением 2.
Теперь посмотрим на удачное решение уравнения 1., найденное
age:

,

. Необходимые требования для него выполняются.

- конгруэнтные числа.
А вот для уравнения 2.

,

не подойдут, это можно сказать заранее, поскольку 155 не конгруэнтно.
Для выяснения достаточных условий придется все же залезать в эллиптические кривые.
Для данных уравнений эти условия, по-моему, совсем не очевидны.