Найти функцию распределения случайной величины

[farewe11]

Цитата:

Надо не умножать на два, а сложить вероятности попадания в эти промежутки.

Так ведь вероятности попадания в эти промежутки равны, вроде..
Итак:

$$F_L(l) = P(L<l) = P(A\in[\arccos\frac l2;\frac\pi2]) + P(A\in[-\frac\pi2;-\arccos\frac l2])$$

И снова утыкаемся в то, что я уже 2 дня никак не могу сделать: выразить через $F_A(\alpha)$ :)

$$P(A\in[\arccos\frac l2;\frac\pi2]) = P(A>\arccos\frac l2); A\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]$$

$$P(A>\arccos\frac l2) = 1 - P(A<\arccos\frac l2)$$

$$P(A<\arccos\frac l2) = F_A(\arccos\frac l2) = \frac{\arccos\frac l2}{\pi}+\frac 12$$

правильно?

[Someone]

farewe11 в сообщении #458506 писал(а):

$$F_L(l) = P(L<l) = P\left(A\in\left[\arccos\frac l2;\frac\pi2\right]\right) + P\left(A\in\left[-\frac\pi2;-\arccos\frac l2\right]\right)$$

Верно (я немного подредактировал формулу, чтобы она лучше смотрелась).

farewe11 в сообщении #458506 писал(а):

Так ведь вероятности попадания в эти промежутки равны, вроде..

Равны, но это надо доказывать. В данном случае проще просто вычислить их.

farewe11 в сообщении #458506 писал(а):

$$P(A>\arccos\frac l2) = 1 - P(A<\arccos\frac l2)$$

$$P(A<\arccos\frac l2) = F_A(\arccos\frac l2) = \frac{\arccos\frac l2}{\pi}+\frac 12$$

Правильно, но, вообще-то, есть формула

$$\mathrm P(a\leqslant X<b)=F_X(b)-F_X(a).$$

Поскольку в рассматриваемом случае функция распределения непрерывна, знаки "$<$" и "$\leqslant$" взаимозаменяемы. Применяя эту формулу к обсуждаемой случайной величине, получим при $0<l\leqslant 2$

$$F_L(l)=\mathrm P(L<l)=F_{\mathrm A}\left(\frac{\pi}2\right)-F_{\mathrm A}\left(\arccos\frac l2\right)+F_{\mathrm A}\left(-\arccos\frac l2\right)-F_{\mathrm A}\left(-\frac{\pi}2\right).$$

Осталось аккуратно подставить и упростить. И не забыть про случаи $l\leqslant 0$ и $l>2$.

[farewe11]

Как раз сейчас подставляю. В случае $l\leqslant 0 F_L(l) = 0$, а в случае $l>2 F_L(l) = 1$. Спасибо за терпение. )