AM-GM forever!

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ положительны. Докажите, что:

$$\left(\frac{2a}{b+c}\right)^{\frac{13}{22}}+\left(\frac{2b}{a+c}\right)^{\frac{13}{22}}+\left(\frac{2c}{a+b}\right)^{\frac{13}{22}}\geq3$$

[mclaudt]

Можно рассмотреть нестрогое пояснение, отражающее, тем не менее, имеющийся геометрический смысл:

$$\left(\frac{2a}{b+c}\right)^{\frac{13}{22}}+\left(\frac{2b}{a+c}\right)^{\frac{13}{22}}+\left(\frac{2c}{a+b}\right)^{\frac{13}{22}}\geq\left(\frac{2a}{b+c}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{2b}{a+c}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{2c}{a+b}\right)^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2} \left(\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma\right)$$

Тут греческими буквами обозначены углы, образуемые с базисными плоскостями направляющим вектором исходящей из центра координат главной диагонали прямоугольного параллелепипеда размерами $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$.
Тогда $\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma$ - это сумма высот, отсекаемых лучом, определяемым указанным вектором, на трех полубесконечных цилиндрах, охватывающих единичную сферу в центре координат, стоящих на базисных плоскостях и направленных вдоль базисных осей. Эта функция имеет минимум при $\tg\alpha=\tg\beta=\tg\gamma=\frac {1} {\sqrt{2}}$, равный $\frac {3} {\sqrt{2}}$.

По сути дела задача сводится к доказательству этого минимума. Хотя можно где-то раздобыть иное обоснование для $\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma\geq \frac {3} {\sqrt{2}}$. Например, исходя из того, что $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=2$, выразить один угол через два других и найти минимум функции двух переменных.

[arqady]

mclaudt в сообщении #458070 писал(а):

По сути дела задача сводится к доказательству этого минимума. Хотя можно где-то раздобыть иное обоснование для $\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma\geq \frac {3} {\sqrt{2}}$.

Тогда у Вас получится, что

$$\left(\frac{2a}{b+c}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{2b}{a+c}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{2c}{a+b}\right)^{\frac{1}{2}}\geq3$$

а это неверно: $a=b$ и $c\rightarrow0^+$.

[MrDindows]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #457980 писал(а):

Пусть $a$, $b$ и $c$ положительны. Докажите, что:

$$\left(\frac{2a}{b+c}\right)^{\frac{13}{22}}+\left(\frac{2b}{a+c}\right)^{\frac{13}{22}}+\left(\frac{2c}{a+b}\right)^{\frac{13}{22}}\geq3$$

$$\left(\frac{2a}{b+c}\right)^{\log_2{1,5}}+\left(\frac{2b}{a+c}\right)^{\log_2{1,5}}+\left(\frac{2c}{a+b}\right)^{\log_2{1,5}}\geq3$$

А такое неравенство будет верно?)

[arqady]

MrDindows в сообщении #458172 писал(а):

$$\left(\frac{2a}{b+c}\right)^{\log_2{1,5}}+\left(\frac{2b}{a+c}\right)^{\log_2{1,5}}+\left(\frac{2c}{a+b}\right)^{\log_2{1,5}}\geq3$$

А такое неравенство будет верно?)

Да, оно верно! Только это уже не $AM-GM$.

[mclaudt]

Да, минимум этот оказался локальный, не охватывает все значения $a,b,c$.

[Sasha2]

Вот, честно говоря, мне совершенно непонятно причем тут AM-GM
Ведь имеем:
$\[{\left( {\frac{{2a}}{{b + c}}} \right)^{\frac{{13}}{{22}}}} = {\left( {\frac{{2{a^2}}}{{(b + c)a}}} \right)^{\frac{{13}}{{22}}}} \geqslant {\left( {\frac{{8{a^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}}} \right)^{\frac{{13}}{{22}}}} = {\left( {\frac{{8a}}{{a + b + c}}} \right)^{\frac{{13}}{{11}}}}\]$.
Поэтому исходное неравенство сводится вот к такому:
$\[{8^{\frac{{13}}{{22}}}}({a^{\frac{{13}}{{11}}}} + {b^{\frac{{13}}{{11}}}} + {c^{\frac{{13}}{{11}}}}) \geqslant 3{(a + b + c)^{\frac{{13}}{{11}}}}\]$.
А это, в свою очередь, сводится к совершенно тривиальной проверке $\[{8^{13}} \geqslant {3^{22}}\]$ (Excel говорит, что это верно).

Ну есть тут какой-то AM-GM, но вряд ли это изюминка. Может быть должно быть, что-то более изощренное. А может быть я опять напутал где-нибудь.

[MrDindows]

Но вобще-то если $a=b=c$ то должен достигаться знак равенства, у вас же его нету...

[mclaudt]

MrDindows в сообщении #458753 писал(а):

Но вобще-то если $a=b=c=1$ то должен достигаться знак равенства, у вас же его нету...

Вообще-то $3\geq2$ испокон веков безо всякого обоснования равенства.

[Sasha2]

Нет, насчет знака равенства, тут не так.
Из исходного неравенства видим, что равенство действительно имеет место при $a=b=c$.
А из доказательства, приведенного мною (ну при условии, конечно, что оно верно, вот пусть уважаемый Аркадий подвердит или опровергнет это), видно, что равенство также может быть в том и только в том случае, когда: $a=b+c, b=a+c, c=a+b$, но это на самом деле невозможно, а поэтому случаи равенства действительно сводятся к $a=b=c$.
Корявое объяснение, может быть можно и покрасивше.

[Lunatik]

Sasha2 в сообщении #458748 писал(а):

Поэтому исходное неравенство сводится вот к такому:
$\[{8^{\frac{{13}}{{22}}}}({a^{\frac{{13}}{{11}}}} + {b^{\frac{{13}}{{11}}}} + {c^{\frac{{13}}{{11}}}}) \geqslant 3{(a + b + c)^{\frac{{13}}{{11}}}}\]$.

Оно ведь неверно... при $a=b=c=1$ неравенство очевидно неверно...

[Sasha2]

To Lunatik
То есть Вы считаете, что $\[{8^{\frac{{13}}{{22}}}} \cdot 3 \geqslant 3 \cdot {3^{\frac{{13}}{{11}}}}\]$ это неверно неравенство?

[MrDindows]

Что считать, если так и есть)
$\sqrt{8}<3$

[Sasha2]

Да, все верно, ошибся я однако.

[arqady]

Здесь можно посмотреть доказательство.