Итак, приступим. Рассматриваем уравнение вида
![$$
x^2-Ay^2=B.
\eqno(*)
$$ $$
x^2-Ay^2=B.
\eqno(*)
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/7/c4767d9ab767ba4485e34214b388fafc82.png)
Пусть
![$\varepsilon=x_0+y_0\sqrt{A}>1$ $\varepsilon=x_0+y_0\sqrt{A}>1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/0/2d0588ebd65851544a1f831e170e88b082.png)
--- наименьшее решение ассоциированного уравнения Пелля
![$x^2-Ay^2=1$ $x^2-Ay^2=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/2/f421ba9f9fa838b44858ff73fd57edf082.png)
.
Теорема. Базовые решения
![$\alpha=X+Y\sqrt{A}$ $\alpha=X+Y\sqrt{A}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63b4c96b322250075159a005b57b6e5082.png)
уравнения
![$(*)$ $(*)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/c/70c4c9b9d0b3ff0ac46f10357ad7ce3c82.png)
определяются условиями:
![$$
\frac{\sqrt{B}}{2\sqrt{A}}
\,(\varepsilon^{-1/2}-\varepsilon^{1/2}) \leqslant Y<
\frac{\sqrt{B}}{2\sqrt{A}}
\,(\varepsilon^{1/2}-\varepsilon^{-1/2}), \quad X=\sqrt{AY^2+B}
$$ $$
\frac{\sqrt{B}}{2\sqrt{A}}
\,(\varepsilon^{-1/2}-\varepsilon^{1/2}) \leqslant Y<
\frac{\sqrt{B}}{2\sqrt{A}}
\,(\varepsilon^{1/2}-\varepsilon^{-1/2}), \quad X=\sqrt{AY^2+B}
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/8/0a85ca6c877a5d37878eb80cf9d1b20d82.png)
в случае
![$B>0$ $B>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/1/5e19da887e156c28d4e0eab94cae45a782.png)
; если же
![$B<0$ $B<0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/b/cab7521c75d719474154f279ef63f93582.png)
, то
![$$
\frac{\sqrt{|B|}}{\sqrt{A}} \leqslant Y<\frac{\sqrt{|B|}}{2\sqrt{A}}
\,(\varepsilon^{1/2}+\varepsilon^{-1/2}), \quad
X=\pm \sqrt{AY^2+B},
$$ $$
\frac{\sqrt{|B|}}{\sqrt{A}} \leqslant Y<\frac{\sqrt{|B|}}{2\sqrt{A}}
\,(\varepsilon^{1/2}+\varepsilon^{-1/2}), \quad
X=\pm \sqrt{AY^2+B},
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/a/9ba5c4992dc4be7d91622334ef12df9482.png)
а также
![$$
Y=\frac{\sqrt{|B|}}{2\sqrt{A}}\,(\varepsilon^{1/2}+\varepsilon^{-1/2}), \quad
X=-\sqrt{AY^2+B}.
$$ $$
Y=\frac{\sqrt{|B|}}{2\sqrt{A}}\,(\varepsilon^{1/2}+\varepsilon^{-1/2}), \quad
X=-\sqrt{AY^2+B}.
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/3/8237845172254af9ce75a518056bf56c82.png)
Базовость означает, что
![$\alpha \in [q,q\varepsilon)$ $\alpha \in [q,q\varepsilon)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/f/52fe62f52b2b703cd9009b09a4f19b7c82.png)
, где
![$q=\sqrt{|B|/\varepsilon}$ $q=\sqrt{|B|/\varepsilon}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/c/ecc10355db0b41d0a5e20a846e4778e382.png)
(обычно берут
![$q=1$ $q=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/0/3d05cd6211f427db37bac406f3f2bd8182.png)
, но при указанном значении
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
интервал для
![$Y$ $Y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91aac9730317276af725abd8cef04ca982.png)
получается самым узким). Произвольное решение уравнения
![$(*)$ $(*)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/c/70c4c9b9d0b3ff0ac46f10357ad7ce3c82.png)
представляется в виде
![$\pm \alpha_j\varepsilon^k$ $\pm \alpha_j\varepsilon^k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/e/73e64506509d2a89a3f86d6dc699ee2782.png)
, где
![$k \in \mathbb{Z}$ $k \in \mathbb{Z}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/4/144fa83e4646629c5206e21e9b466d5882.png)
, а
![$\alpha_j$ $\alpha_j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/9/4f95e66cfe5eed7163898219d419dff582.png)
--- одно из базовых. В качестве примера решим уравнение
![$$
x^2-(d^2-1)y^2=B,
$$ $$
x^2-(d^2-1)y^2=B,
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/8/2b88007cb9de02477ed19f4f25d8ebc582.png)
где
![$|B|<Cd$ $|B|<Cd$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/2/5821fad7f65587f8dc79f54cb0d651f582.png)
(
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
произвольно,
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
фиксировано). Имеем
![$\varepsilon=d+\sqrt{d^2+1} \asymp d$ $\varepsilon=d+\sqrt{d^2+1} \asymp d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/7/cf74caa3674d8322a08d51586961900d82.png)
, поэтому для
![$Y$ $Y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91aac9730317276af725abd8cef04ca982.png)
имеем оценку
![$|Y|<C_1$ $|Y|<C_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/6/fa650a8b1c5f6b45367025eb4fe2339d82.png)
, где
![$C_1$ $C_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/1/d81a84099e7856ffa4484e1572ceadff82.png)
не зависит от
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
(но зависит от
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
). Фиксируем одно из таких
![$Y$ $Y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91aac9730317276af725abd8cef04ca982.png)
. Тогда для
![$X^2=d^2Y^2+Y^2+B$ $X^2=d^2Y^2+Y^2+B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/5/7f50e2cc329b10c5a0330560c954b6c582.png)
имеем
![$(d|Y|-C_2)^2<X^2<(d|Y|+C_2)^2$ $(d|Y|-C_2)^2<X^2<(d|Y|+C_2)^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/3/5f39a71e89c74e39c05f6c01eeea92da82.png)
, где
![$C_2$ $C_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/f/85f3e1190907b9a8e94ce25bec4ec43582.png)
зависит только от
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
. Значит,
![$X^2=(d|Y|+k)^2$ $X^2=(d|Y|+k)^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/4/a144bce47adb01f74296beafa739da2c82.png)
, где
![$|k|<C_2$ $|k|<C_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/5/c45780f76b8c4901eb495774ecb033e882.png)
. Подставляем это в уравнение и получаем
![$$
B=2k|Y|d+k^2-Y^2.
\eqno(**)
$$ $$
B=2k|Y|d+k^2-Y^2.
\eqno(**)
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/e/ece596b320d38c37162652476275901e82.png)
Таким образом, имеется конечное число линейных (относительно
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
) выражений для
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
. Оставим из них те, для которых
![$|B|<Cd$ $|B|<Cd$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/2/5821fad7f65587f8dc79f54cb0d651f582.png)
при всех достаточно больших
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
(нижняя граница для
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
зависит только от
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
; маленькие
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
разбираем отдельно). Для каждого из оставшихся выражений
![$(**)$ $(**)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/0/f40bbedfaa9266106331853ea75c0de982.png)
находим все базовые решения
![$(X,Y)$ $(X,Y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/5/1c58aaaffa6c79566e4f46c7bf98769f82.png)
(в роли
![$Y$ $Y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91aac9730317276af725abd8cef04ca982.png)
--- константы
![$<C_1$ $<C_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bd9e1d7eea134aa8fcd7cb32f1222d482.png)
, в роли
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
--- линейные выражения относительно
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
) и пишем ответ. (Небрежность в оценках здесь есть, так что проверяйте.)
Теперь наша задача (вот тут я старался быть аккуратным). Она сводится к исследованию уравнения
![$$
x^2-(d^2-4)y^2=B,
$$ $$
x^2-(d^2-4)y^2=B,
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/8/d18222251f625a8de34fa9e8d96ec97d82.png)
где
![$d=2a+1$ $d=2a+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/1/f3189e50302d322cc0cc5e41d430f8e482.png)
,
![$x=b$ $x=b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/0/7408ba34e16eebed1eeff0fd6853562982.png)
,
![$y=c$ $y=c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/c/97ccc5719054b4c06081c57fa6bd623182.png)
, при этом
![$-4a+3<B<-2a+2$ $-4a+3<B<-2a+2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/4/074035410ae6f803b35016bb6f61894f82.png)
. Здесь
![$$
\varepsilon=\frac{d(d^2-3)}{2}+\frac{d^2-1}{2}\sqrt{d^2-4}
=4a^3+6a^2-1+2(a^2+a)\sqrt{(2a-1)(2a+3)}.
$$ $$
\varepsilon=\frac{d(d^2-3)}{2}+\frac{d^2-1}{2}\sqrt{d^2-4}
=4a^3+6a^2-1+2(a^2+a)\sqrt{(2a-1)(2a+3)}.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/5/1951393a23551dcd140c185988f588ba82.png)
При ограничениях на
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
из теоремы можно вывести для базовых решений
![$(X,Y)$ $(X,Y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/5/1c58aaaffa6c79566e4f46c7bf98769f82.png)
двойное неравенство
![$$
1 \leqslant Y<\sqrt{2}a.
$$ $$
1 \leqslant Y<\sqrt{2}a.
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/f/3dfda4ba86083e80091ae5498871a62d82.png)
Но тогда для
![$X^2=((2a+1)^2-4)Y^2+B$ $X^2=((2a+1)^2-4)Y^2+B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/9/9e93a15cf35d8d98c7a5ae651e599d3082.png)
с учётом ограничений на
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
мы получили бы
![$$
((2a+1)Y-2)^2<X^2<((2a+1)Y)^2,
$$ $$
((2a+1)Y-2)^2<X^2<((2a+1)Y)^2,
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/0/1b042f0f86d617384b16755378c5fab282.png)
откуда
![$X^2=((2a+1)Y-1)^2$ $X^2=((2a+1)Y-1)^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/6/2f69c1e313dba626171af5881eb2237982.png)
и, как следствие, уравнение
![$$
4Y^2-2(2a+1)Y+1-B=0.
$$ $$
4Y^2-2(2a+1)Y+1-B=0.
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/1/bd1d9be6d24adbb52a6b735e6fe4d9f282.png)
Дискриминант этого уравнения должен быть точным квадратом:
![$$
4a^2+4a-3+4B=Z^2.
$$ $$
4a^2+4a-3+4B=Z^2.
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/4/484152653241a8374ae5dca629d62f1a82.png)
Вновь учитывая ограничения на
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
, приходим к неравенствам
![$$
(2a-3)^2<Z^2<(2a+1)^2.
$$ $$
(2a-3)^2<Z^2<(2a+1)^2.
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/b/e0b4aaf6db3e822c5237d1a7a6afebf182.png)
Значит,
![$Z^2=(2a-1)^2$ $Z^2=(2a-1)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/d/f7d7b485baaeb37ab40b3265d60db7e982.png)
и
![$B=-2a+1$ $B=-2a+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/3/fa3d5f3118d2289281d5bf6a81e969c482.png)
. Таким образом,
![$$
Y=a=\frac{\sqrt{2a-1}}{2\sqrt{(2a-1)(2a+3)}}\,
(\varepsilon^{1/2}+\varepsilon^{-1/2}), \quad X=-2a^2-a+1.
$$ $$
Y=a=\frac{\sqrt{2a-1}}{2\sqrt{(2a-1)(2a+3)}}\,
(\varepsilon^{1/2}+\varepsilon^{-1/2}), \quad X=-2a^2-a+1.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/7/5b7ea61728efb10788f7b307737d808682.png)
Все искомые пары
![$(c,b)$ $(c,b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/8/8f853df2c45958b60165366335b34bb182.png)
натуральных чисел теперь можно найти из формулы
![$$
c+b\sqrt{(2a-1)(2a+3)}=(-2a^2-a+1+a\sqrt{(2a-1)(2a+3)})\,\varepsilon^k
=(2a^2+a-1+a\sqrt{(2a-1)(2a+3)})\,\varepsilon^{k-1},
$$ $$
c+b\sqrt{(2a-1)(2a+3)}=(-2a^2-a+1+a\sqrt{(2a-1)(2a+3)})\,\varepsilon^k
=(2a^2+a-1+a\sqrt{(2a-1)(2a+3)})\,\varepsilon^{k-1},
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/2/ff2da808d0f93a4c1d60e1cf952b4dd782.png)
где
![$k=1,\,2,\,\ldots$ $k=1,\,2,\,\ldots$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/5/0258f77b28b749924ad0314f659e6b0682.png)
(и, конечно,
![$a>1$ $a>1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/e/73eb6879fd26696fa6f3df5b2ee7346882.png)
--- произвольно).
Не вижу, почему бы всё это не прошло и для других интервалов для
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
.