Теория вероятностей

[freedom_of_heart]

Два танка стреляют по объекту врага. Каждый танк делает по 3 выстрела. Вероятность попадания для первого танка $p_1=0,8$, для второго $p_2=0,7$.
$X$ - число попаданий по объекту.

Составить таблицу распределения $X$ и найти функцию распределения $F(x)$.

Как составить таблицу распределения?!

Попытка

(Оффтоп)

Случайная величина $X$ принимает значения $0,1,2,3,4,5,6$

$p(X=0)=0,2\cdot 0,2\cdot 0,2+0,3\cdot 0,3\cdot 0,3=0,08+0,027=0,107$

Правильно ли начало? Или нужно так?

$p(X=0)=0,2\cdot 0,2\cdot 0,2\cdot 0,3\cdot 0,3\cdot 0,3=0,00216$

[ShMaxG]

А что Вы попытку в оффтоп загнали?
Ну а что значит, что $X=0$? Что никто не попал ни разу. Никто в целом не попал. Одновременно. Это не взаимоисключающие события, поэтому вероятности здесь следует перемножить. Так что правильный -- второй вариант (уж вычисленное число не проверял, но делать надо так).

-- Вт июн 14, 2011 19:43:40 --

Тут еще хочется такую вещь уточнить. Мы различаем ситуации, когда, например, первый попал-промахнулся-промахнулся и промахнулся-попал-промахнулся?

[Tlalok]

Похожая задача уже рассматривалась на форуме.

topic43430.html

[freedom_of_heart]

ShMaxG в сообщении #458011 писал(а):

А что Вы попытку в оффтоп загнали?
Ну а что значит, что $X=0$? Что никто не попал ни разу. Никто в целом не попал. Одновременно. Это не взаимоисключающие события, поэтому вероятности здесь следует перемножить. Так что правильный -- второй вариант (уж вычисленное число не проверял, но делать надо так).

Спасибо, поняла! То есть так?!

$p(X=0)=0,2\cdot 0,2\cdot 0,2\cdot 0,3\cdot 0,3\cdot 0,3=...$

$$p(X=1)=0,8\cdot 0,2\cdot 0,2\cdot 0,3\cdot 0,3\cdot 0,3+0,2\cdot 0,8\cdot 0,2\cdot 0,3\cdot 0,3\cdot 0,3+$$

$$0,2\cdot 0,2\cdot 0,8\cdot 0,3\cdot 0,3\cdot 0,3+3\cdot 0,2\cdot 0,2\cdot 0,2\cdot 0,7\cdot 0,3\cdot 0,3=...$$

$p(X=2)=[C_6^4 = 15 variantov ]=...$

Слишком много вариантов... есть ли способ сделать проще?!

[PAV]

freedom_of_heart

Число попаданий каждым из танков ($X_1$ и $X_2$) распределены по биномиальному закону, а $X$ есть их сумма (соответственно, вспомните или подумайте, как находить распределение суммы двух случайных величин, принимающих целые нетрицательные значения).

[freedom_of_heart]

PAV в сообщении #458026 писал(а):

freedom_of_heart

Число попаданий каждым из танков ($X_1$ и $X_2$) распределены по биномиальному закону, а $X$ есть их сумма (соответственно, вспомните или подумайте, как находить распределение суммы двух случайных величин, принимающих целые нетрицательные значения).

О! Так должно быть меньше считать, спасибо! Рискну предположить, что сумма тоже по биномиальному закону Так?

[ShMaxG]

Что за "парад роботов"? Надо проще писать. Вероятность, что попадание в целом будет одно, равно вероятности, что первый танк не попадет, умножить на вероятность, что второй попадет 1 раз (он это может сделать 3 способами, равными по вероятности). Плюс. Ровно наоборот. В общем:

$$ \[p\left( {X = 1} \right) = {0.2^3} \cdot \left( {3 \cdot 0.7 \cdot {{0.3}^2}} \right) + {0.3^3} \cdot \left( {3 \cdot 0.8 \cdot {{0.2}^2}} \right)\]$$

Всего 2 слагаемых.

Аналогично,

$$\[p\left( {X = 2} \right) = {0.2^3} \cdot \left( {3 \cdot {{0.7}^2} \cdot 0.3} \right) + \left( {3 \cdot 0.8 \cdot {{0.2}^2}} \right)\left( {3 \cdot 0.7 \cdot {{0.3}^2}} \right) + \left( {3 \cdot {{0.8}^2} \cdot 0.2} \right) \cdot {0.3^3}\]$$

Ну и если напрячься чуток, то скорее всего можно получить общий формУл.

[PAV]

freedom_of_heart в сообщении #458031 писал(а):

О! Так должно быть меньше считать, спасибо! Рискну предположить, что сумма тоже по биномиальному закону Так?

Увы, нет. Если бы вероятности успеха (попадания) были бы одинаковы, тогда да, но они разные, так что придется считать непосредственно.

-- Вт июн 14, 2011 20:07:27 --

В принципе вычислений на самом деле будет столько же, только они разбиваются на последовательные этапы, что действительно воспринимается проще, ну и шанс ошибиться поменьше.

[freedom_of_heart]

PAV в сообщении #458036 писал(а):

Увы, нет. Если бы вероятности успеха (попадания) были бы одинаковы, тогда да, но они разные, так что придется считать непосредственно.

Эх...( Значит нужно потрудиться!

ShMaxG в сообщении #458032 писал(а):

Что за "парад роботов"? Надо проще писать. Вероятность, что попадание в целом будет одно, равно вероятности, что первый танк не попадет, умножить на вероятность, что второй попадет 1 раз (он это может сделать 3 способами, равными по вероятности). Плюс. Ровно наоборот. В общем:

Спасибки, попробую дальше продолжить

$P\left( {X = 3} \right) = {0.2^3} \cdot {0,7^3} +{0,3^3}\cdot 0,8^3 $

$P\left( {X = 4} \right)= {0.8^3}\cdot (3\cdot 0,3^2\cdot 0,7) + {0.7^3}\cdot (3\cdot 0,2^2\cdot 0,8) $

$P\left( {X = 5} \right)= {0.8^3}\cdot (2\cdot 0,3\cdot 0,7^2) + {0.7^3}\cdot (2\cdot 0,2\cdot 0,8^2)$

$P\left( {X = 6} \right)= {0.8^3}\cdot {0.7^3}$

Правильно?!

[PAV]

Непохоже. Советую делать с помощью $X_1$ и $X_2$

-- Вт июн 14, 2011 20:24:17 --

Очевидно же, что для события $\{X=3\}$ должно быть четыре слагаемых

[freedom_of_heart]

PAV в сообщении #458050 писал(а):

Очевидно же, что для события $\{X=3\}$ должно быть четыре слагаемых

Точно, спасибо!

$P\left( {X = 3} \right) = {0.2^3} \cdot {0,7^3} +{0,3^3}\cdot 0,8^3+3\cdot 0,8^2\cdot 0,7+3\cdot 0,7^2\cdot 0,2 $

(Оффтоп)

PAV в сообщении #458050 писал(а):

Непохоже. Советую делать с помощью $X_1$ и $X_2$

Там нужно еще вспоминать - что такое биномиальное распределение...

[PAV]

И все равно неправильно. Именно потому, что не помните формулу биномиального распределения

[freedom_of_heart]

Хорошо, тогда вторым способом!

$P\left( {X_1 = 0} \right)=C^0_3 (0,8)^0\cdot 0,2^3=\dfrac{3!}{0!\cdot 3!}0,2^3=0,2^3$

$P\left( {X_1 = 1} \right)=C^1_3 (0,8)^1\cdot 0,2^2=\dfrac{3!}{1!\cdot 2!}0,2^2\cdot 0,8 = 3\cdot 0,2^2\cdot 0,8$

$P\left( {X_1 = 2} \right)=C^2_3 (0,8)^2\cdot 0,2^1=\dfrac{3!}{2!\cdot 1!}0,2\cdot 0,8^2= 3\cdot 0,2\cdot 0,8^2$

$P\left( {X_1 = 3} \right)=C^3_3 (0,8)^3\cdot 0,2^0=\dfrac{3!}{3!\cdot 0!}0,8^3=0,8^3$

$P\left( {X_2 = 0} \right)=C^0_3 (0,7)^0\cdot 0,3^3=\dfrac{3!}{0!\cdot 3!}0,7^3=0,3^3$

$P\left( {X_2 = 1} \right)=C^1_3 (0,7)^1\cdot 0,3^2=\dfrac{3!}{1!\cdot 2!}0,7^2\cdot 0,7 = 3\cdot 0,3^2\cdot 0,7$

$P\left( {X_2 = 2} \right)=C^2_3 (0,7)^2\cdot 0,3^1=\dfrac{3!}{2!\cdot 1!}0,3\cdot 0,7^2= 3\cdot 0,3\cdot 0,7^2$

$P\left( {X_2 = 3} \right)=C^3_3 (0,7)^3\cdot 0,3^0=\dfrac{3!}{3!\cdot 0!}0,7^3=0,7^3$

А как дальше быть?!

[PAV]

Правильно, а теперь комбинируйте

[freedom_of_heart]

PAV в сообщении #458063 писал(а):

Правильно, а теперь комбинируйте

Спасибо! Так комбинировать? Ужас получился...

$$P\left( {X = 0} \right)=P\left( {X_1 = 0} \right)\cdot P\left( {X_2 = 0} \right)$$

$$P\left( {X = 1} \right)=P\left( {X_1 = 1} \right)\cdot P\left( {X_2 = 0} \right)+P\left( {X_1 = 0} \right)\cdot P\left( {X_2 = 1} \right)$$

$$P\left( {X = 2} \right)=P\left( {X_1 = 2} \right)\cdot P\left( {X_2 = 0} \right)+P\left( {X_1 = 2} \right)\cdot P\left( {X_2 = 0} \right)+P\left( {X_1 = 1} \right)\cdot P\left( {X_2 = 1} \right)$$

$$P\left( {X = 3} \right)=P\left( {X_1 = 3} \right)\cdot P\left( {X_2 = 0} \right)+P\left( {X_1 = 3} \right)\cdot P\left( {X_2 = 0} \right)+P\left( {X_1 = 2} \right)\cdot P\left( {X_2 = 1} \right)+P\left( {X_1 = 1} \right)\cdot P\left( {X_2 = 2} \right)$$

$$P\left( {X = 4} \right)=P\left( {X_1 = 3} \right)\cdot P\left( {X_2 = 1} \right)+P\left( {X_1 = 1} \right)\cdot P\left( {X_2 = 3} \right)+P\left( {X_1 = 2} \right)\cdot P\left( {X_2 = 2} \right)$$

$$P\left( {X = 2} \right)=P\left( {X_1 = 3} \right)\cdot P\left( {X_2 = 2} \right)+P\left( {X_1 = 2} \right)\cdot P\left( {X_2 = 3} \right)$$

$$P\left( {X = 0} \right)=P\left( {X_1 = 3} \right)\cdot P\left( {X_2 = 3} \right)$$