Оптимизация нелин. систем опред. с эксперим. погрешностью

[AndreyS]

Помогите пожалуйста с задачей оптимизации.
Меня в первую очередь интересует правильная классификация и термины моей проблемы (чтобы искать
легче было материал), а так же хорошую литературу, которую надо почитать именно для данной задачи,
и советы как можно сделать то что я хочу.

Проблема такая:
----------------------------------------------------------
Есть система вещественных нелинейных уравнений (сложные комбинации квадратичных
полиномов с тригонометрией) 10 уравнений)
Есть некоторое число неизвестных переменных (9 искомых вещественных переменных).
(К сожалению явной аналитической зависимости для исключения еще одного уравнения из системы нет)
И теперь самая главная особенность:
Система уравнений содержит параметры (не искомые переменные, а некоторые коэффициенты и слагаемые
в различных степенях), которые являются экспериментально определенными с некой экспериментальной
доверительной вероятностью. Тоесть, произвольно выбранная комбинация значений этих параметров
(даже средних экспериментальных значений) в пределах их экспериментальной погрешности делает
систему уравнений несовместной.
Есть еще (4 штуки) дополнительные уравнения условий (аналитические выражения от искомых
неизвестных для некоторых параметров невошедших в систему уравнений), которые также определены
экспериментально с соответствующей погрешностью (с ними надо сравнивать). Все параметры
(входящие в систему и не входящие) имеют функциональные зависимомти от искомых переменных для
сравнения с экспериментальными значениями для параметров.

Задача:
1) Найти решение системы (9 переменных), так чтобы найденные неизвестные при подстановке давали
при расчете (прямая задача) параметры наиболее близкими к их средним экспериментально
определенным значениям. Что по сути и является задачей оптимизации.
2) Найти погрешности найденных неизвестных параметров исходя из погрешностей экспериментально
определенных параметров.
------------------------------------------------------------------------------------------

Ну я решал и решил эту задачу по старинке. Ввел некую дополнительную оптимизирующую функцию
(функцию выгоды - Ну просто сумма квадратов отклонений значений вычисляемых параметров через
неизвестные (прямой расчет) от их средних экспериментальных значений. (весовые коэффициенты тоже
пробовал варьировать)).
Часть экспериментальных параметров с хорошей экспериментальной погрешностью пришлось
зафиксировать (и перебирать их значения простым циклом с некоторым шагом), а другие
параметры сделать доп переменными. Было использовано несколько мощных гадиентных методов.

В общем получил некоторое решение, которое в общем удовлетворяет задаче.
Аналитически посмотрел систему и думаю, что решение единственно (тоесть разрывов нет, и других
комбинаций значений с резко отличающимися значениями неизвестных нет) в пределах
определения (из эксперимента) параметров.

Пользовался некоторой старой литературой и хелпом из МатЛаба.


А теперь вопросы:
1) Как теперь (ведь все развивается) правильно называется приведенная мной задача, к какому
подклассу ее можно отнести с точки зрения современной прикладной математики. Может оптимизации
(а может и нет), тогда какой подкласс и правильные термины определяющие особенности?
Ну может типа: плохообусловленные задачи, задачи с нечеткой логикой, условные решения
задач оптимизации? Я еще не выяснял, что точно под этими терминами понимают,и вообще
понимают ли под этими терминами разные авторы одно и тоже ?
Это все нужно, чтобы правильную литературу найти.

2) Может сразу какую-нибудь литературу на тему моей задачи посоветуете?

3) Допустим ли использованный мной метод расчета?

4) Вообще реально ли получить погрешность неизвестных через погрешности параметров?
Ведь даже для аппроксимации линейной экспериментальной зависимости с помощью прямой линии
- формулы для определения погрешности угла наклона и сдвига апроксимирующей прямой достаточно
структурно велики и нетривиальны.
А здесь я не уверен, что можно вообще получить формулы для определения доверительной
вероятности неизвестных, через доверительные вероятности параметров.
Ведь, -это случай даже тяжелее, чем для обработки изображений (SVD) с помощью
линейных комбинаций базисных изображений, как мне кажется.

Но, если это можно сделать для таких задач оптимизации, то где это описано?

Или, есть ли пути для приблженного определения погрешности для неизвестных в этом случае
(обязательно общепринятые, чтобы не придирались)?

Очень прошу помочь хоть каким-нибудь советом, хотябы по части вопросов.

Заранее благодарен за ответы.

[reader_st]

AndreyS

Вы собрали в одну задачу практически все что можно. Поэтому отнести ее к какому-либо классу, я лично затрядняюсь. Здесь скорее уместно комплексное применение как метод оптимизации, теории аппроксимации и т.п.
Относительно литературы:
по этому поводу можно советовать классические книги по оптимизации, но вот мне понравилась системностью вот эта:
Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. "Оптимизация в условиях неопределенности"

Рассмотрены проблемы оптимизации систем в условиях
неопределенности: формулировка, решение и постоптимизацио-
ный анализ задач оптимизации при вероятностной, интерваль-
интервальной и нечеткой формах описания факторов неопределенности.

[PAV]

Переношу из "Помогите решить" в основной раздел,
так как задача не типовая учебная, а исследовательская

[AndreyS]

Спасибо reader_st

Я вот еще такую литературу собираюсь достать (единственно доступные книги в интернет
магазине):

1)А. В. Аттетков, С. В. Галкин, В. С. Зарубин Методы оптимизации
2)И. Г. Черноруцкий Методы оптимизации в теории управления
3) Ю. Н. Софиева, А. М. Цирлин Условная оптимизация. Методы и задачи
4) Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. Серия
"Классический университетский учебник". Изд.2

К сожалению оглавления негде посмотреть (только для 2,3 есть) даже при поиске в сети.
Может кто знает какая из них содержит материал ближе к моей задаче?

Исследуя этот вопрос пришол к очень забавным наблюдениям. А именно:
1) Методы оптимизации в первую очередь развиваются под игидой экономического
и изредка технологического применения. Причем многие термины, иделогия, постановка
и круг задач сформулированы именно в этом подходе. Общие же проблемы и задачи обработки
физической информации как таковой, почему то уходят на второй план (если не на последний).

Между тем постановка обратной физической задачи с экспериментально определенными
параметрами с соответствующей точностью стара как физика, очень важна и часто
встречается. Более того, для более простых случаев развито много агоритмов, типа:
от апроксимации простой прямой или криовой до обработки данных типа анализа изображений
на основе SVD и спектральных анализов. При этом, физическое применение являлось чуть ли
не основным мотивом развития этих областей в прикладной математике.
Сейчас это не так.

Считаю, что описанная мной задача очень типична в последнее время в физической
области (все развивается и сложность исследуемых задач тоже). Так почему же новый
необходимый прикладной мат. аппарат для этой стандартной важной задачи мало
специфически рассматривается в литературе? Причем это касается и зарубежной литературы.
Воистину экономика сейчас во главе угла
Многие старшие товарищи плохо знакомые с выч методами часто из-за этого вынуждены даже
упрощать теорию и выражения и выкидывать многие параметры, чтобы хоть что то оценить.
Это неправильно.

Я так понимаю, что получением даже приближенных выражений (или подходов) для определение
погрешностей оптимизируемых параметров через интервальные условия никто просто еще серьезно и не
занимался из-за сложности вопроса?

[reader_st]

AndreyS

Относительно того, что оптимизация описывается в основном для экономических процессов. Есть двухтомник Реклейтиса "Оптимизация в технике".
Относительно, что трудно найти подобную задачу. По-моему, дело в том, что Ваша задача, с точки зрения используемых методов, слишком широка. Здесь придется написать не один трактат, а если будут примеры, скажем из MatLab.
Поэтому, полезнее будет или связаться с людьми которые занимаются данными проблемами или просматривать журналы.

[AndreyS]

reader_st писал(а):

Поэтому, полезнее будет или связаться с людьми которые занимаются данными проблемами или просматривать журналы.

Прямо в точку.
Я нашел некоторое время назад журнальные статьи и связался с людьми. Один человек из Бразилии
даже Но как то долго и сложно обсуждать это все по почте. Впрочем, в результате я все-таки
посчитал как то свою задачу. Вот думал, что здесь смогут еще чего-нибудь подсказать.
Дело в том, что многие иностранные книжки на которые ссылаются зарубежные авторы у нас
достать сложно (а в большинстве даже невозможно и в БАН) - вот я и решил здесь поспрашивать,
что есть из отечественной доступной литературы (да и я больше понимаю английский в области
физики, а учить математические особенности английского в спец. областях у меня не шибко много
времени). Кроме того статьи рассматривают отдельные аспекты, и часто ссылаются на литературу,
которую я достать не могу, так что хочется больших полноценных книжек приближенных к тематике.
Конечно одно другое не исключает.

В общем большое спасибо за помощь, буду искать Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. "Оптимизация в условиях
неопределенности"
В Djvu и pdf найти, к сожалению, не удалось (Может ссылка есть?). Придется в библиотеку идти, но
что то мне подсказывает, что в своей я ее не найду .

[freeon]

помогите нужно рефератик по теме "задача условной оптимизации"

[Comga]

Если уравнений больше чем переменных, то задача может быть переопределенной. В этом случае ищут не решение, а псевдорешение, доставляющее минимум "нормы" уравнений. Для оценки влияния параметров решают сопряженную задачу.