Формула преобразований Лоренца?

[С.Мальцев]

Общеизвестно, что СТО базируется на формулах преобразований Лоренца, которые в учебниках и пособиях, как правило, обведены рамочкой. Одна из формул ПЛ:

$$t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

где:
$x=vt$ – расстояние, на которое переместятся часы за время $t$ в покоящейся ИСО из начала координат.
$t$ – заданное показание времени в покоящейся ИСО.
$t'$ – искомое показание времени на часах, переместившихся из начала координат в точку $x$ покоящейся ИСО,

заслуживает особого внимания. Дело в том, что в моем представлении, данная формула не является формулой преобразований Лоренца, во всяком случае, в той интерпретации, которая дается учебниками. Проблема заключается в том, что, используя данную формулу, невозможно вычислить время, показываемое часами, находящимися в произвольной точке координат движущейся ИСО. Сам же Эйнштейн в пояснении к данной формуле пишет (А.Эйнштейн «Собрание научных трудов», М. 1965, т. 1, ст. «К электродинамике движущихся тел», § 4, стр. 18-19):

Цитата:

Представим себе, далее, что часы, находясь в покое относительно покоящейся системы, показывают время $t$, а, находясь в покое относительно движущейся системы, показывают время $\tau$. Пусть они помещены в начало координат системы k. Как быстро идут эти часы при рассмотрении из покоящейся системы? (В приведенной цитате – $\tau=t'$.)

И далее выводит эквивалентную формулу замедления времени в движущейся ИСО:

$$t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Очевидно, что согласно данной формуле, можно вычислить только скорость хода каждых часов в движущейся ИСО, но для дальнейшего вывода формул, скажем, формулы сложения скоростей в движущейся ИСО, этого явно недостаточно. Ведь для решения задач, скажем, для измерения скорости различных движущихся объектов относительно друг друга (с точки зрения покоящегося наблюдателя), необходимы двое часов, разнесенных на некоторое расстояние друг от друга по ходу движения (в общем случае) в движущейся ИСО.

Согласно СТО, в движущейся ИСО (с точки зрения покоящегося наблюдателя) наблюдается рассинхронизация разнесенных по оси x' часов, которая рассчитывается по формуле:

$$\Delta t=\frac{vx'}{c^2}$$

где $x'$ – координата точки в движущейся ИСО, в которой находятся часы.

При этом, в направлении по ходу движения от точки $x'=0$ – рассинхронизация отрицательная, в противоположном направлении – положительная. В таком случае, было бы логично для показаний часов, находящихся в точке $x_1'$, ввести в формулу замедления времени поправку на рассинхронизацию. При движении ИСО' в направлении положительных значений $x$ относительно покоящейся ИСО, для расчета показаний часов, находящихся в произвольной точке $x_1'$ оси $x'$, получаем формулу:

$$t_{x_1'}'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{vx_1'}{c^2}$$

Очевидно, что при $x_1'=0$ (часы находятся в начале координат движущейся ИСО'), формула приобретает вид, который необходим для решения поставленной Эйнштейном задачи «Как быстро идут эти часы (в движущейся системе) при рассмотрении из покоящейся системы?»:

$$t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Для того, чтобы узнать, сколько времени прошло по часам в покоящейся ИСО, если часы в точке $x_1'$ показывают время $t_{x_1'}'$, выводим обратную формулу:

$$t_{x_1'}'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{vx_1'}{c^2}$$

$$t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}= t_{x_1'}'+\frac{vx_1'}{c^2}$$

$$t=\frac{t_{x_1'}'+\frac{vx_1'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

и убеждаемся, что она идентична обратной формуле ПЛ, которая в учебниках так же обведена рамочкой.

Полагаю, что именно в таком виде должны записываться формулы ПЛ для показаний часов, т.к. они логичны и позволяют производить дальнейший вывод прочих формул СТО, в отличие от формул, предоставляемых учебниками, где всегда $x'=0$.

[myhand]

Почитайте неспеша простую книжку "Эйнштейновская теория относительности" М.Борна - она написана для Вас. А труды А.Эйнштейна Вам абсолютно противопоказаны.

Если останутся вопросы по теме, подобные стартовому сообщению - физика не для Вас.

С.Мальцев в сообщении #457054 писал(а):

Дело в том, что в моем представлении, данная формула не является формулой преобразований Лоренца

Она в ничьем не является. Т.к. это только часть преобразований Лоренца. Еще пространственные координаты преобразуются - не только время. Ну и смысл буковок "формулы в рамочке" другой.

[Someone]

С.Мальцев в сообщении #457054 писал(а):

Общеизвестно, что СТО базируется на формулах преобразований Лоренца, которые в учебниках и пособиях, как правило, обведены рамочкой.

Ерунда какая-то. СТО "базируется" вовсе не на преобразованиях Лоренца, а на определённых представлениях о пространстве и времени, а конкретный вид преобразований целиком зависит от выбранных систем координат. Если хотите, можете пользоваться преобразованиями Галилея, только всякие формулы сложнее будут. Если говорить о формальном построении теории, то, например, в первой работе Эйнштейна, посвящённой СТО (К электродинамике движущихся тел. В сборнике: Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов. В четырёх томах. I. Работы по теории относительности. 1905 - 1920. "Наука", Москва, 1969.), выделены три постулата: непротиворечивость определённой Эйнштейном процедуры синхронизации часов, принцип относительности и независимость скорости распространения света от движения источника.

С.Мальцев в сообщении #457054 писал(а):

$x=vt$ – расстояние, на которое переместятся часы за время $t$ в покоящейся ИСО из начала координат.
$t$ – заданное показание времени в покоящейся ИСО.
$t'$ – искомое показание времени на часах, переместившихся из начала координат в точку $x$ покоящейся ИСО,

Чушь какая-то.
Давайте возьмём не неизвестные "учебники и пособия с рамочками", а хотя бы известную книгу

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Краткий курс теоретической физики. Книга 1. Механика. Электродинамика. "Наука", Москва, 1969.

Правда, рамочек там нет, но в § 36 преобразования Лоренца приведены. В этих преобразованиях $x,y,z,t$ - координаты события в некоторой инерциальной системе отсчёта $K$, $x',y',z',t'$ - координаты того же события в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся относительно первой со скоростью $V$ (для упрощения формул предполагается, что пространственные оси координат обеих систем отсчёта параллельны друг другу, начала пространственно-временных систем координат совпадают, скорость $V$ направлена вдоль оси $Ox$):

$$x=\frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\ y=y',\ z=z',\ t=\frac{t'+\frac V{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}.\eqno{(36.3)}$$

Обратные преобразования, выражающие $x',y',z',t'$ через $x,y,z,t$, получаются заменой $V$ на $-V$.

И последуйте совету myhand.

[С.Мальцев]

myhand в сообщении #457067 писал(а):

Почитайте неспеша

myhand в сообщении #457067 писал(а):

это только часть преобразований Лоренца. Еще пространственные координаты преобразуются - не только время.

Почитайте не спеша первый абзац в моем стартовом посте:

С.Мальцев в сообщении #457054 писал(а):

Одна из формул ПЛ:

Кроме того, Вы полагаете хорошим тоном, изложение подобных тривиальностей?

myhand в сообщении #457067 писал(а):

простую книжку "Эйнштейновская теория относительности" М.Борна - она написана для Вас. А труды А.Эйнштейна Вам абсолютно противопоказаны.

Труды Эйнштейна не противопоказаны никому. Тем более, что каждый из авторов пособий, пытается объяснять ПЛ несколько по-своему и по-разному. Поэтому полагаю правильным обратиться непосредственно к первоисточнику.

myhand в сообщении #457067 писал(а):

Ну и смысл буковок "формулы в рамочке" другой.

А какой у Вас? Что для Вас означает вот это $\frac{vx}{c^2}$?

-- Вс июн 12, 2011 17:55:59 --

Someone в сообщении #457070 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #457054 писал(а):

$x=vt$ – расстояние, на которое переместятся часы за время $t$ в покоящейся ИСО из начала координат.
$t$ – заданное показание времени в покоящейся ИСО.
$t'$ – искомое показание времени на часах, переместившихся из начала координат в точку $x$ покоящейся ИСО,

Чушь какая-то.

Совершенно с Вами согласен – полная чушь. Забавно то, что эту «чушь» написал не кто иной, как сам Эйнштейн (А.Эйнштейн «Собрание научных трудов», М. 1965, т. 1, ст. «К электродинамике движущихся тел», § 4, стр. 18-19):


Еще забавнее наблюдать, как Дэвид Бом после вполне верных и понятных рассуждений о теории Лоренца, пытается вывести одну из формул преобразований (Д.Бом «Специальная теория относительности» М. 1967, гл. 8 «Проблема определения одновременности», стр. 50-51):

Обратим внимание на некоторые ляпы в формуле (8.9).
Во-первых, вместо точки координат $x'$ у него почему-то в формулу введена длина $l_0$. Разница существенная – длина, при наблюдаемом сокращении масштаба, имеет свойство сокращаться в отличие от координаты, которая остается прежней.
Во-вторых, полное отсутствие штрихов – расставляй по собственному желанию и усмотрению.
Ну а в-третьих, самое забавное – предваряющая формула:

$$t'=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

где что хочешь, то и думай. Логично было бы предположить, что $t'$ – показания часов в движущейся ИСО, тогда, надо понимать, $t_0$ означает показание часов в покоящейся ИСО? Но мне, вообще-то, известна несколько иная формула из СТО:

$$t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

???

Обратим внимание на то, что и сам Эйнштейн в ст. «К электродинамике движущихся тел» § 5, стр. 20, «Теорема сложения скоростей», при выведении соответствующих формул ссылается не на § 4, где выведена его собственная формула

$$t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

что было бы логично, а ссылается на предыдущий § 3.

Someone в сообщении #457070 писал(а):

Давайте возьмём не неизвестные "учебники и пособия с рамочками", а хотя бы известную книгу

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Краткий курс теоретической физики. Книга 1. Механика. Электродинамика. "Наука", Москва, 1969.

Правда, рамочек там нет, но в § 36 преобразования Лоренца приведены.

Приведены. И всё же, что означает $\frac{vx}{c^2}$?

[myhand]

С.Мальцев в сообщении #457168 писал(а):

Кроме того, Вы полагаете хорошим тоном, изложение подобных тривиальностей?

В Вашем случае - да. Совсем подробно "почему" - Вам объяснил Someone.

С.Мальцев в сообщении #457168 писал(а):

Труды Эйнштейна не противопоказаны никому.

Труды Эйнштейна - интересны только историкам науки. Учиться по ним физике - глупо. Это столетие назад - есть масса современных курсов, книжек уровня от популярного (что я Вам посоветовал) - до университетских учебников (курс общей физики Сивухина или Матвеева, второй том курса Ландау и Лившица, как примеры).

Да, там нет "рамочек". Зато нет и лабуды, которую Вы сочинили в качестве пояснения к "одной из формул".

С.Мальцев в сообщении #457168 писал(а):

А какой у Вас? Что для Вас означает вот это $v x /c^2$

Вам Someone подробно написал выше. $v$ - это скорость второй ИСО относительно первой. $x$ - пространственная координата, а $t$ - временная для некоторого события в первой ИСО. Соответственно, штрихованные величины относятся к координатам (пространственная координата и время) этого же события во второй ИСО.

С.Мальцев в сообщении #457168 писал(а):

Совершенно с Вами согласен – полная чушь. Забавно то, что эту «чушь» написал не кто иной, как сам Эйнштейн (А.Эйнштейн «Собрание научных трудов», М. 1965, т. 1, ст. «К электродинамике движущихся тел», § 4, стр. 18-19)

Вот-вот. Потому что Вы не умеете читать - "труды Эйнштейна" Вам и противопоказаны категорически.

С.Мальцев в сообщении #457168 писал(а):

Во-вторых, полное отсутствие штрихов – расставляй по собственному желанию и усмотрению.

Нда - буковки переименовали... Нет, боюсь Вам физика категорически противопоказана.

[С.Мальцев]

myhand в сообщении #457190 писал(а):

есть масса современных курсов, книжек уровня от популярного (что я Вам посоветовал) - до университетских учебников (курс общей физики Сивухина или Матвеева, второй том курса Ландау и Лившица, как примеры).

Да, там нет "рамочек".

Давненько-то Вы, видимо, Матвеева (А.Н.Матвеев «Механика и теория относительности» изд. 3, 2003 г., гл. 4, § 14, стр. 104-105) не открывали, как раз там-то и есть рамочки:

Причем, обратите внимание – именно «прямая» формула преобразований идентична формуле Эйнштейна, где $x=vt$.

myhand в сообщении #457190 писал(а):

$v$ - это скорость второй ИСО относительно первой. $x$ - пространственная координата, а $t$ - временная для некоторого события в первой ИСО.

Вот спасибо, что растолковали! Хотя, сама постановка вопроса подразумевала несколько иное – что означает выражение $\frac{vx}{c^2}$? Если не поленитесь у того же Матвеева перелистнуть страницу (§ 14, стр. 106-108) и прочитать, то, возможно, поймете, что это формула рассинхронизации часов в движущейся ИСО с точки зрения покоящегося наблюдателя. А если не дойдет текст, то внизу 107-ой страницы имеется рисунок, поясняющий рассинхронизацию:

Обратите внимание, по ходу движения ИСО' (положительные значения $x'$) рассинхронизация часов по оси $x'$ отрицательная, а в противоположном направлении (отрицательные значения $x'$) – положительная. Что и было указано в стартовом посте. Можете еще заглянуть в Вики «Специальная теория относительности», раздел «Относительность одновременности», там описание несколько понятнее и «прозрачнее», чем у Матвеева.
Обратите внимание на формулу (в Вики) $t'=-vx'/c^2$ на рисунке слева под часами. С точки зрения наблюдателя в покоящейся ИСО S, часы в ИСО S' рассинхронизированны в соответствии с данной формулой, где $x'$ – координата часов в ИСО S', а $t'$ – поправка на рассинхронизацию. С точки зрения наблюдателя в покоящейся ИСО S, время в ИСО S' замедленно в соответствии с формулой:

$$t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Добавляем к данной формуле поправку на рассинхронизацию, и получаем верную формулу преобразований времени для часов, находящихся в точке $x'$:

$$t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{vx'}{c^2}$$

Если перейти в ИСО S', то в таком случае, теперь ИСО S' покоится (правый рисунок в Вики), а относительно нее движется ИСО S, в которой наблюдается замедление времени и рассинхронизация часов. Поскольку движение противоположно (тут Вы совершенно правы), знак меняется на противоположный, и получаем обратную формулу преобразований:

$$t=t'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{vx}{c^2}$$

для часов, находящихся в точке $x$.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #457168 писал(а):

Труды Эйнштейна не противопоказаны никому.

Грубое заблуждение. Они не противопоказаны только людям, знающим физику, и умеющим читать научные работы.

-- 13.06.2011 01:30:19 --

Вообще, забавно видеть, как человек, не разобравшийся в СТО настолько, что лезет "исправлять" её формулы своими грубыми ошибками, пытается объяснять её тонкости людям, знакомым с ней не хуже, чем со своими пятью пальцами.

[parton]

(Оффтоп)

С.Мальцев в сообщении #457168 писал(а):

Обратим внимание на некоторые ляпы в формуле (8.9). Во-первых, вместо точки координат у него почему-то в формулу введена длина . Разница существенная......

Прежде, чем искать "ляпы" у других, следует "проверяться" на свои (ляпы).:) "Сокращаться" может расстояние, а вот длина всегда одна и та-же, равная координате. Или в Вашем ляпе "по-другому",С.Мальцев? :)

[С.Мальцев]

Рассмотрим цепочку часов, движущихся в направлении положительных значений оси $X$ относительно часов покоящейся ИСО $S$. Для упрощения и понижения «этажности» формул, далее используем систему, где $c=1$ (для отличия используем заглавные буквы) и расстояния между часами задаем в световых секундах. Соответственно и время получаем в секундах.
Представим, что ИСО $S'$ движется относительно ИСО $S$ со скоростью 0,866с. В таком случае коэффициент сокращений $K=\sqrt{1-V^2}$ составит 0,5. Т.е. вдвое сократятся размеры и расстояния по оси $X'$ и вдвое замедлится время в ИСО $S'$ с точки зрения наблюдателей в $S$. Часы в $S$ расположены на расстоянии 0,2165 св. сек. друг от друга, а в ИСО $S'$ на вдвое большем расстоянии – 0,433 св. сек. друг от друга. Таким образом, при $K=0,5$, часы в различных ИСО в момент встречи находятся друг против друга. Один оборот стрелки равен 1 секунде.

В начальный момент показания часов $X_0'$ и всех часов в ИСО $S$ установлены на ноль, а начала координат ИСО $S$ и $S'$, в которых находятся часы $X_0$ и $X_0'$, совпадают. В соответствии с формулой рассинхронизации часов:

$\Delta T'=-VX'$

при $T_{X_0'}'=0$, рассчитываем рассинхронизацию часов в $S'$:

$T_{X_1'}'=-0,866\cdot0,433=-0,375$ сек.
$T_{X_{-1}'}'=-0,866\cdot-0,433=0,375$ сек.




Далее рассчитаем время в ИСО $S$, которое необходимо для того, чтобы часы в ИСО $S'$ поравнялись со следующими часами в ИСО $S$.

$T=\frac{X_1}{V}$
$T=\frac{0,2165}{0,866}=0,25$ сек.

Тогда по часам $X_0'$ должно пройти

$T_{X_0'}'=T\sqrt{1-V^2}$
$T_{X_0'}'=0,25\cdot 0,5=0,125$ сек.

В соответствии с формулой преобразований времени:

$T_ {X'}'= T\sqrt{1-V^2}-VX'$,

рассчитываем показания остальных часов в $S'$:

$T_{X_1'}'= 0,25\cdot0,5-0,866\cdot0,433=-0,25$ сек.
$T_{X_{-1}'}'= 0,25\cdot0,5-0,866\cdot-0,433=0,5$ сек.
$T_{X_{-2}'}'= 0,25\cdot0,5-0,866\cdot-0,866=0,875$ сек.

На рисунке красные стрелки указывают их положение в начальный момент времени.




Через 0,5 сек. по часам ИСО $S$, часы ИСО $S$ и $S'$ снова поравняются. Рассчитываем показания часов в $S'$:

$T_{X_0'}'=0,5\cdot 0,5=0,25$ сек.
$T_{X_1'}'= 0,5\cdot0,5-0,866\cdot0,433=-0,125$ сек.
$T_{X_{-1}'}'= 0,5\cdot0,5-0,866\cdot-0,433=0,625$ сек.
$T_{X_{-2}'}'= 0,5\cdot0,5-0,866\cdot-0,866=1,0$ сек.



В силу того, что положительная рассинхронизация каждых следующих часов в движущейся ИСО перекрывает замедление времени, при сравнении одних часов с несколькими движущимися, показания времени движущихся часов в $\gamma$ раз больше, чем покоящихся. Когда часы $X_0$ показывали 0,25 сек., часы $X_1'$, находящиеся в этот момент напротив, показывали 0,5 сек., Когда часы $X_0$ показывали 0,5 сек., часы $X_2'$ показывали 1,0 сек. Такое положение полностью согласуется со СТО (Л-Л, т. 2, § 3, стр. 23): «Всегда окажутся отстающими те часы, которые сравниваются с разными часами в другой системе отсчета.».

[Munin]

Про пространственно-временные диаграммы человек не слышал, а без них понять смысл преобразований Лоренца невозможно...

[С.Мальцев]

Бросьте, Munin. Если уж эти, так называемые преобразования, в обычном трехмерном пространстве бесполезны, то и в любом другом от них так же мало толку.

[Joker_vD]

Шедевр. Действительно, если преобразования 4-мерного пространства-времени не работают в "обычном трехмерном пространстве", то очевидно, "и в любом другом от них так же мало толку".

А уж что на чертежах происходит... у вас там сколько всего часов?

[С.Мальцев]

Всего 9. Часы $X_{-2}'$ находятся за левым обрезом первого рисунка. Полагаю, что это не принципиально. Могу и переделать, нет проблем.

Нет, не получилось переделать, отключилось редактирование.

-- Пн июн 13, 2011 22:20:02 --

Ну и представления у Вас, однако. Простите, Вы полагаете, что распад частиц с релятивистскими скоростями только на бумаге в пространстве Минковского происходит? А ежели подвернется такая возможность, настоящий космический аппарат с околосветовой скоростью в пространство запузырить, Вы так и будете его только на бумаге по мировым линиям гонять? Когда Эйнштейн выводил свои формулы СТО, ни о каком 4-х мерном пространстве еще и слыхом не слыхивали. Так что, акромя как из реальных преобразований Лоренца, не из чего ему было их выводить. Да и Д.Гильберт как-то заметил: «Любой мальчик на улицах Гёттингена понимает в четырёхмерной геометрии больше, чем Эйнштейн».
Это надо же до такого додуматься - спецформулы преобразований Лоренца (!), выведенные задолго до творения Минковского, причем, только для его, Минковского спецпространства! Которые для реального пространства (в реальных условиях) непригодны и неприменимы.
Шедевр!

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #457725 писал(а):

Простите, Вы полагаете, что распад частиц с релятивистскими скоростями только на бумаге в пространстве Минковского происходит?

Почему вы ставите знак равенства между "на бумаге" и "в пространстве Минковского"? Пространство Минковского - это и есть наше реальное пространство-время, гораздо более реальное, чем "наше обычное трёхмерное пространство".

С.Мальцев в сообщении #457725 писал(а):

Когда Эйнштейн выводил свои формулы СТО, ни о каком 4-х мерном пространстве еще и слыхом не слыхивали.

Даю справку. О многомерных пространствах математики догадывались примерно с 11 века, а с 18-19 века они стали предметом исследований. О них писали Кант, Даламбер, Якоби, Остроградский, разработали представления Кэли, Грассман, Плюккер, Шлефли, далее Клейн и Жордан обсуждали уже топологию многомерных пространств, а Риман создал уже дифференциальную геометрию искривлённых многомерных пространств. Далее исследования становятся столь массовы, что перечислять имена не имеет смысла.

[С.Мальцев]

А вот мнение Г.Перельмана:
"Особенности современной математики заключаются в том, что она изучает искусственно изобретенные объекты. Нет в природе многомерных пространств, нет групп, полей и колец, свойства которых усиленно изучают математики."
С ним не желаете подискутировать? По мне, так хоть 4-х, хоть 8-ми, хоть 20-ти мерное, лишь бы суть была понятна. И если есть возможность понимания логики вывода формул СТО в 3-х мерном пространстве, то разве от этого кто-то может проиграть?
Не раз мне встречалась такая фраза, что мол Эйнштейн вывел свою теорию чисто математически. Постараюсь доказать, что основные формулы СТО вполне выводятся путем логических построений. При этом СТО оказывается не намного сложнее для понимания, чем классическая физика.