Sequence and limit

[myra_panama]

Пусть $x_0\in [-1,1]$ и
$x_{n+1}=x_n-\arcsin(\sin^2x_n)$ ($n\ge0$)
Вычислить $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n}x_n$
$Я использовал теорему Штольца / есть ли другие идеи?$

[Edward_Tur]

http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Штольца

[myra_panama]

(Оффтоп)

Ну теорему Штольца использовать легко ,.... есть ли какие то другие идеи ?

[gris]

Вроде бы тут достатно видно, что последовательность монотонно убывает на выколотом в нуле отрезке. (В нуле понятно, что будет последовательность из нулей). То есть для отрицательных ясно, что предел равен минус бесконечности.
Для положительных вычитаемое меньше уменьшаемого и последовательность остаётся положительной. Ну и осталось оценить воздействие $\sqrt n$. Но он слабоват. Если бы просто $n$...
Ну после $\pi$ тоже начинается...

[myra_panama]

gris , ну вроде предел равен 1 , если использовать теорему Штольца....

[gris]

Ой... Да, учсуд попутал. Вот ведь как. Неправильно формулу ввёл.

Да нет, это для просто n предел 1. А для корня из $n$ ноль.

[myra_panama]

gris в сообщении #457445 писал(а):

Ой... Да, учсуд попутал. Вот ведь как. Неправильно формулу ввёл.

(Оффтоп)

это вы шутите или издеваетесь (простите за грубые слова)

[gris]

И не думаю ни шутить, ни издеваться. У Вас же там не $\sqrt{n\cdot x_n}$. Иначе для отрицательных не определен корень.
Вы же сами просили не по Штольцу, а по ощущениям.

Кстати, я заметил интересное поведение последовательности $\{n^{\alpha}\cdot x_n\}$ при плавном возрастании альфы от нуля к больше единицы.

(Оффтоп)

Даже поясню. Мне бывает интересно не решить задачу хитроумным способом, а просто посмотреть на поведение функций или последовательностей, построить графики. Бывалоче школьником ещё затеплю лучину и строю какую-нибудь кардиоиду на обёрточной бумаге. А уж когда маткад увидел, то так обрадовался. Вот такое желание пощупать руками. Даже если догадываюсь о решении, всё равно возьму да и смоделирую. А то и пошевелю какой-нибудь параметр и наблюдаю...

Или правда там что-то таится при очень больших $n$. Посмотрю теорему Штольца.

[myra_panama]

gris в сообщении #457453 писал(а):

И не думаю ни шутить, ни издеваться. У Вас же там не $\sqrt{n\cdot x_n}$. Иначе для отрицательных не определен корень

Ой горе мне горе ,,,,,, опечатка там надо найти $\lim\limits_{n\to\infty}nx_n$

[gris]

Эк Вас колбасит-то.
Да, при первой степени $n$ получается единица. Но шаг вправо и полетели в бесконечность.