Канторовы лестницы

[AD]

Пусть у нас $K$ - классическое канторово множество на $[0,1]$, и у него смежные интервалы $\{I_n^m\}$, где $n=0,1,2,\ldots$, $m=0,1,2,\ldots,2^n-1$:
$I_0^0=[\frac13,\frac23]$
$I_1^0=[\frac19,\frac29]$, $I_1^1=[\frac79,\frac89]$,
и т.д.

Возьмем россыпь действительных чисел $a_n^m$ с теми же индексами.

Нет ли простого способа, глядя на эту россыпь, понять, существует ли непрерывная функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, равная $a_n^m$ на всем $I_n^m$? В терминах ну поскладывать-повычитать их, может, ряды посуммировать, и т.п. Ну и там дальше другие вопросы пойдут, типа когда эта функция будет ограниченной вариации, и т.п.

Просто разыскиваю удобные обозначения, в которых на такие вопросы легко отвечать.

[Someone]

Что-то сомневаюсь я, что тут можно сформулировать какое-нибудь простое условие, сколько-нибудь существенно отличающееся от существования предела в каждой точке $K$. Может быть, воображения не хватает...

[Vince Diesel]

Сопоставим отрезкам $I_n^m$ точки на $[0,1]$ с конечными двоичными дробями: $I_n^m\to x_n^m=\frac{2m+1}{2^{n+1}}$ и положим $g(x_n^m)=a_n^m$. Тогда условия непрерывности функции $f$ сводятся к тому, что для чисел, имеющих неоднозначную запись в виде двоичной дроби, т.е. чисел вида $x_n^m$, пределы значений функции $g$, получающиеся двумя способами (из разных записей), совпадают. Например, для $0.01=0.00(1)$ значение $g(0.01)$ должно быть равно пределу значений $g(0.001\ldots1)$. То есть $g$ должна быть непрерывна на $[0,1]$. Следовательно, для непревывности $f$ необходимо и достаточно, чтобы числа $a_n^m$ были значениями некоторой непрерывной функции $g\in C([0,1])$ в точках $x_n^m$.

Другими словами, рассмотрим следующее непрерывное отображение отрезка $[0,1]$ на себя. На первом шаге отобразим отрезок $I_0^0$ в точку $1/2$. Остальные две части линейно по непрерывности на $[0,1/2)$ и $(1/2,1]$. При этом отрезки $I_n^m$ куда-то перейдут. На втором шаге построим аналогично отображения для отрезков $[0,1/2]$ и $[1/2,1]$, переведя образы отрезков $I_1^0$ и $I_1^1$ в точки $1/4$ и $3/4$ соответственно. И т.д. В результате функция $f$ должна перейти в непрерывную функцию $g$, однозначно задаваемую своими значениями в точках $x_n^m$.

[AD]

Слушайте, а классно
То есть берем любую непрерывную функцию, смотрим значения в двоично-рациональных точках ... Я сейчас спокойно это осмыслю, и если это правда, то это мне нравится (:

[Someone]

У нас задано "стандартное" канторово совершенное множество $K\subseteq I=[0,1]$. "Склеиваем" смежные отрезки в двоично-рациональные точки, это отображение продолжается на весь отрезок $I$ до непрерывного (монотонного) отображения $g\colon I\xrightarrow{\text{на}}I$. Пусть $f\colon I\to\mathbb R$ - произвольное отображение, постоянное на смежных отрезках. Оно факторизуется через отображение $g$: $f=\hat fg$, где $\hat f\colon I\to\mathbb R$ - некоторое отображение. Поскольку $I$ - компакт, отображение $g$ не только непрерывно, но и замкнуто. Отсюда следует, что $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда $\hat f$ непрерывно.
Вас устраивает такая переформулировка?

Vince Diesel в сообщении #457413 писал(а):

огда условия непрерывности функции $f$ сводятся к тому, что для чисел, имеющих неоднозначную запись в виде двоичной дроби, т.е. чисел вида $x_n^m$, пределы значений функции $g$, получающиеся двумя способами (из разных записей), совпадают.

Не сводятся. Откуда возьмётся непрерывность в точках, которые не являются двоично-рациональными? (Указанные Вами числа с неоднозначной двоичной записью - это в точности двоично-рациональные числа).

Vince Diesel в сообщении #457413 писал(а):

Например, для $0.01=0.00(1)$ значение $g(0.01)$ должно быть равно пределу значений $g(0.001\ldots1)$.

А этого не хватит даже для непрерывности в двоично-рациональных точках (если под многоточием подразумевается последовательность из одних единиц).

[Vince Diesel]

Для иррациональных аналогично. Отображение, которое у меня описано, это стандратная канторова лестница $h:[0,1]\to[0,1]$. Если склеить отрезки в точки, то полученное множество $K$ задается последовательностями $x=0,x_1x_2\ldots$, состоящими из нулей и двоек. Рассмотрим обратное отборажение $h^{-1}:[0,1]\to K$, $0,y_1y_2\ldots\to 0,x_1x_2\ldots$, где $x_i=2y_i$. Из явного представления в дробях все и вытекает. Пусть какая-то последовательность точек $y_i\in K$ сходится к $y\in K$, тогда последовательность $x_i$...

Или проще так. Если взять на образе $h^{-1}$ норму, индуцированную евклидовой нормой на $[0,1]$, то получим изометрию. В частности, это непрерывное отображение топологических пространств. Из этого и следует эквивалентность непрерывности $f=g h$ и $g=fh^{-1}$.