Сопоставим отрезкам

точки на
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
с конечными двоичными дробями:

и положим

. Тогда условия непрерывности функции

сводятся к тому, что для чисел, имеющих неоднозначную запись в виде двоичной дроби, т.е. чисел вида

, пределы значений функции

, получающиеся двумя способами (из разных записей), совпадают. Например, для

значение

должно быть равно пределу значений

. То есть

должна быть непрерывна на
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
. Следовательно, для непревывности

необходимо и достаточно, чтобы числа

были значениями некоторой непрерывной функции
![$g\in C([0,1])$ $g\in C([0,1])$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/2/642030811f54847216a8d361dace22b082.png)
в точках

.
Другими словами, рассмотрим следующее непрерывное отображение отрезка
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
на себя. На первом шаге отобразим отрезок

в точку

. Остальные две части линейно по непрерывности на

и
![$(1/2,1]$ $(1/2,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/e/f6e52fb4d49f38cda0ade3693e185a2382.png)
. При этом отрезки

куда-то перейдут. На втором шаге построим аналогично отображения для отрезков
![$[0,1/2]$ $[0,1/2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/7/07713983562e3ea358cf856f5b3ca3c382.png)
и
![$[1/2,1]$ $[1/2,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe4325d38e849f6d71eac248bee0b4a582.png)
, переведя образы отрезков

и

в точки

и

соответственно. И т.д. В результате функция

должна перейти в непрерывную функцию

, однозначно задаваемую своими значениями в точках

.