Найти функцию распределения случайной величины

[farewe11]

Текст задачи: Окружность единичного радиуса с центром в $(0; 0)$ имеет северный полюс на положительной полуоси абсцисс.

..Что это? :)

[Алексей К.]

Напоминает просто глупость. Какую-то трактовку, а то и оправдание составителю, может и можно было бы придумать, ежели увидеть полное условие. Типа "Где в этом случае находится её западный полюс?" (зедсь оправдание не придумывается, только трактовка).

[farewe11]

Нет, к сожалению, задача не так звучит. Она про теорвер: из этого полюса случайным образом направлен луч, причем его угол распределен равномерно на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ Найти функцию распределения длины хорды внутри окружности.
В общем, я так понял, это просто опечатка. Имелась в виду точка $(1;0)$. Наверно.

[Алексей К.]

Ну, по крайней мере, это точка именно на окружности, $(x,y)=(R,0)$, а не точка внутри неё. Т.е. точка известная. А то, что кому-то пришло в голову назвать это "северным полюсом", следует, видимо, просто проигнорировать.

[farewe11]

Дана окружность единичного радиуса и луч, выходящий из $(1;0)$.
Угол луча с осью абсцисс распределён равномерно на отрезке $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Найти функцию распределения длины хорды внутри окружности.


Не прошу решить за меня задачу; если можете, обрисуйте, пожалуйста, алгоритм: с чего начать решение?

.
Темы объединены.

[Алексей К.]

Я ТВ напрочь забыл, но сыскать зависимость длины хорды от этого самого угла, наверное, просто необходимо. И даже с этого начать. В ожидании подсказок по делу.

[farewe11]

Это-то понятно. Зависимость длины хорды от угла луча - найду (ищу), как дальше использовать эту функцию? Сейчас читаю Гмурмана - не могу найти того, что надо.

[Someone]

Эх, сдал своего Гмурмана в библиотеку. Но точно помню, что там где-то функции от случайных величин рассматриваются, написаны необходимые формулы, и аналогичные задачи разобраны.

[farewe11]

Да вот и нет. Там рассмотрены задачи только типа: "Случайная величина задана функцией распределения, найти плотность" и наоборот. Но вот чтоб именно найти функцию распределения, исходя из ничего - такого нет, почему-то, нигде. Пока я только нашел зависимость длины хорды от угла: $l=2\cdot\cos\alpha$. За что ж дальше-то браться?..

[Someone]

farewe11 в сообщении #457429 писал(а):

Там рассмотрены задачи только типа: "Случайная величина задана функцией распределения, найти плотность" и наоборот.

Не там ищете. Я же сказал: функции от случайных величин. То есть, задана случайная величина $X$ и функция $g(x)$, рассматривается случайная величина $Y=g(X)$, требуется что-то найти для случайной величины $Y$. В задачнике Гмурмана это точно есть.

[farewe11]

Вот к какому выводу я пока пришел:
Плотность распределения угла равна: $p(\alpha) = \frac{1}{\pi}$ (ибо распределение равномерное на промежутке от $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$)
Зависимость длины хорды от величины угла: $f(\alpha) = 2\cdot\cos\alpha$
Теперь надо найти плотность распределения длины хорды $l$, это делается по формуле $p(l) = |(f^{-1}(\alpha))'|\cdotp(\alpha)$
И после этого полученное значение проинтегрировать.
Правильно?

[Someone]

Нет. У Вас отрезок $[0,2]$, на котором изменяется $l$, накрывается дважды: для $\alpha\in\left[-\frac{\pi}2,0\right]$ и для $\alpha\in\left[0,\frac{\pi}2\right]$. Обратные функции для этих отрезков разные. Нужно посчитать для обоих и сложить.
Правильно ли Вы написали формулу плотности, сразу не вспомнил, а ломать голову неохота. И может оказаться проще сразу искать функцию распределения, там никаких производных или интегралов не будет.

[farewe11]

Вернее, отрезок $(-1;1)$, на котором изменяется $l$.
Насчет плотности - надеюсь, правильно: $1$ делить на длину отрезка, а наш "отрезок" - это длина полуокружности: $\pi$.

Цитата:

И может оказаться проще сразу искать функцию распределения

Возможно. Только всё дело в том, что у меня нет понятия, как найти функцию сразу. Я и рассчитывал на совет, как же можно её найти. :)

[oveka]

Составил программку с генератором.
Вот что получил
3733 3726 3792 3773 3763 3909 3822 3869 3839 3839
Это частоты длин, если диапазон изменения поделить на 10 интервалов.
Может подскажет направление поиска.

[farewe11]

В общем, вот решение, которое я пытаюсь выдать за верное)
Плотность распределения угла $p(\alpha) = \frac{1}{\pi}$
Зависимость длины хорды от угла $\alpha$: $f(\alpha) = 2\cdotR\cdot\sin\frac{\beta}{2}$, где $\beta$ - угол, на который опирается хорда.
$f(\alpha) = 2\cdot\sin(90-\alpha) = 2\cdot\cos\alpha$
Плотность распределения длины хорды: $f(l) = |(f^{-1}(\alpha))'|\cdot p(\alpha)$, следовательно

$$f(l) = \frac{|(2\cdot\arccos\alpha)'|}{\pi} = \frac{1}{\sqrt{1-\alpha^2}\cdot\pi}$$

так-так... до сих пор правильно?