Оранжевый треугольник

[Xenia1996]

Назовём треугольник оранжевым, если для его углов $\alpha, \beta, \gamma$ выполняется система неравенств:

$$ \begin{cases} \sin\alpha>\cos\beta \\ \sin\beta>\cos\gamma \\ \sin\gamma>\cos\alpha \\ \end{cases} $$

Доказать, что высоты оранжевого треугольника пересекаются в одной точке.

[gris]

А они и для серобуромалинового пересекаются в одой точке.

[Xenia1996]

gris в сообщении #457069 писал(а):

А они и для серобуромалинового пересекаются в одой точке.

Высоты не суть продолжения высот, а иметь общую точку не означает пересекаться.

[gris]

Точно. Тогда надо показать, что он остроугольный.

[Xenia1996]

gris в сообщении #457073 писал(а):

Точно. Тогда надо показать, что он остроугольный.

Угу

[gris]

Ну там связано с синусом и косинусом по разные стороны $45^{\circ}$.

[Xenia1996]

gris в сообщении #457077 писал(а):

Ну там связано с синусом и косинусом по разные стороны $45^{\circ}$.

При чём здесь 45?

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #457068 писал(а):

Доказать, что высоты оранжевого треугольника пересекаются в одной точке.

Столь замысловато Ксения хочет сказать, что оранжевый треугольник будет остроугольным.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #457080 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457068 писал(а):

Доказать, что высоты оранжевого треугольника пересекаются в одной точке.

Столь замысловато Ксения хочет сказать, что оранжевый треугольник будет остроугольным.

Более того, доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто (несмотря на кажущуюся очевидность).

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #457082 писал(а):

доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто

А зачем доказывать очевидные вещи? В геометрии полно нетривиальных задач и теорем, лучше их доказывать.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #457083 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457082 писал(а):

доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто

А зачем доказывать очевидные вещи? В геометрии полно нетривиальных задач и теорем, лучше их доказывать.

В общем случае, Вы, возможно, правы. Но в данном конкретном случае доказательство будет крайне интересным. Советую попытаться.

-- Вс июн 12, 2011 14:22:16 --

Задача-таки разбивается на две подзадачи:

1) Доказать, что оранжевый треугольник является остроугольным.
2) Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке (это, кстати, не так уж и очевидно - а вдруг существует остроугольный треугольник, высота которого не проходит через точку пересечения двух других высот?).

[zhekas]

1) Если угол, например $\alpha$, не острый. То есть $\alpha\ge90$, а следовательно $\cos\alpha\le0$. То не выполняется второе неравенство, так как

$$\sin(\beta)=\sin{(\gamma+\alpha)}=\sin\gamma\cos\alpha+\cos\gamma\sin\alpha\le\cos\gamma\sin\alpha\le\cos\gamma$$

Следовательно треугольник остроугольный

[MrDindows]

Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):

2) Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке (это, кстати, не так уж и очевидно - а вдруг существует остроугольный треугольник, высота которого не проходит через точку пересечения двух других высот?).

Ну это по теореме Чевы доказывается.
$AC_1=b\cos A, \ BC_1=a \cos B, \ BA_1=c\cos B, \ CA_1=b\cos C,\\ CB_1=a \cos C, \ AB_1=c \cos A \\$

$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}\cdot\frac{BC_1}{C_1A}=1$

[Kallikanzarid]

Xenia1996 в сообщении #457071 писал(а):

Выделите текст в сообщении

Действительно, высоты - это высоты, прямые.

[mihailm]

Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):

...
Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке
...

это из школьного учебника входит в программу