Характеристический многочлен оператора и след матрицы

[Anexroid]

Нужно доказать, что след $\operatorname{tr} A$ - это коэффициент при степени $n - 1$ характеристического многочлена.

Я так понимаю, что по индукции? Ну, база очевидна. А вот как шаг выполнить?

[jetyb]

Да и без индукции можно собразить.
Вспомните теорему Виета. Чему равна суммв корней многочлена?
Как строится характеристический многочлен по матрице7

[Anexroid]

Сумма корней многочлена $-\frac{a_1}{a_0}$
$a_0$ - перед n-ой степенью
$a_1$ - перед (n-1)-ой

Характеристический многочлен - $A - {\lambda}E$, где $E$ - единичная матрица.

Сумма корней - это и есть след.
$a_0 = -1$

Вроде всё и получается.

Но где тогда док-во того, что коэффициент перед n-ой степенью -1?

[TOTAL]

Anexroid в сообщении #456372 писал(а):

Нужно доказать, что след $trA$ - это коэффициент при степени $n - 1$ характеристического многочлена.

Прежде чем доказывать, проверьте при $n=1$ и $n=2.$

[Anexroid]

Ну получим базу индукции. И?

[TOTAL]

TOTAL в сообщении #456400 писал(а):

проверьте при $n=1$ и $n=2.$

[ИСН]

"Проверь кота. Проверь кота, с...лушай."

[Anexroid]

Ну проверил. Выполняется. И что???

[TOTAL]

Anexroid в сообщении #456466 писал(а):

Ну проверил. Выполняется. И что???

Здесь продемонстрируйте проверку.

[Anexroid]

$n = 1$ - характеристический многочлен = $a_{11} - \lambda$ - здесь что-т не сходится...

$n = 2$ - характеристический многочлен =

$$(a_{11} - \lambda)(a_{22} - \lambda) - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - {\lambda}a_{22} + a_{11}a_{22} + {\lambda}^2 - {\lambda}a_{11} - a_{12}a_{21} = {\lambda}^2 - {\lambda}(a_{22} + a_{11}) + 2a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

[TOTAL]

Anexroid в сообщении #456494 писал(а):

$n = 1$ - характеристический многочлен = $a_{11} - \lambda$ - здесь что-т не сходится...

$n = 2$ - характеристический многочлен = $(a_{11} - \lambda)(a_{22} - \lambda) - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - {\lambda}a_{22} + a_{11}a_{22} + {\lambda}^2 - {\lambda}a_{11} - a_{12}a_{21} = {\lambda}^2 - {\lambda}(a_{22} + a_{11}) + 2a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

Для $n=1$ как раз "сходится", а для $n=2$ не "сходится" (знак другой).
Так что след матрицы не равен этому коэффициенту, а совпадает с ним с точностью до знака (который определяется четностью $n$)

[Anexroid]

А, да, че-т затупил...

[ewert]

Anexroid в сообщении #456389 писал(а):

Но где тогда док-во того, что коэффициент перед n-ой степенью -1?

Характеристический многочлен -- это определитель матрицы $A-\lambda E$. Определитель -- это сумма разных там произведений элементов этой матрицы с разными знаками. Слагаемых в этой сумме много, но лишь одно из них является многочленом степени $n$ (все остальные -- это многочлены степени не выше $n-2$): это -- произведение диагональных элементов. Далее -- теорема Виета.