Невырожденность матрицы

[ConstOr]

Нужно доказать что определитель матрицы произвольной размерности и с очень громоздкими компонентами не равен нулю. Соотвественно в лоб там решать почти не вариант.

Можете накидать различные критерии или частные случаи матриц, у которых определитель не равен нулю?
Например, приведение к ступенчатому виду без нулей на диаголнали (очень громоздко, пока не получается) или диагональное преобладание (его проверил — не выполняется )

[Евгений Машеров]

К треугольному виду?
Или какие-то оценки для собственных значений, такие, что каждое с.з. не может быть нулём?

[Vince Diesel]

Рассмотреть $A^n$. Или $A A^T$. Вдруг проще
В принципе, можно рассматривать функции от матриц. Но будет ли от этого какой-то толк...

[Oleg Zubelevich]

если след не равен нулю ,то определитель не равен нулю и тоже для квадрата матрицы куба и т.д.

[alex1910]

Матрица не из воздуха берется, а из какой-то предметной области.
Может быть легче понять, что в исходной задаче нет линейной зависимости?

Что за чушь про след? Контр-пример
1 1
1 1

[ewert]

(Оффтоп)

ну там просто путаница с терминами вышла. Имелось в виду: "если детерминант не равен нулю, то и определитель не равен нулю".

[Oleg Zubelevich]

да уж что-то я брякаю не подумав

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

"если детерминант не равен нулю, то и определитель не равен нулю".
Товарищ капитан, Вы второе образование получаете?

[ConstOr]

Про происхождение матрицы:
есть не разрешмая в явном виде система уравнений очень громоздкого вида (сумма m дробей, где и в числителе и в знаменателе есть суммы m членов — жесть короче ), но доказать существования решения хочется. Для этого напрашивается теорема о неявной функции (точнее для m=2 это было получено, а хочется обобщить для произвольного m), а для этого собственно надо показать невырожденность матрицы производных.

Сама матрица также получается из суммы дробей в количестве m штук со сложными числителями и знаменателями. Поэтому и проблематично считать в лоб или там искать собственные числа или A^n считать..
Вот диаганальное преобладание было хорошим шансом, но увы (
Может есть ещё что-то в этом духе?

[alex1910]

ConstOr в сообщении #456395 писал(а):

Про происхождение матрицы:
есть не разрешмая в явном виде система уравнений очень громоздкого вида (сумма m дробей, где и в числителе и в знаменателе есть суммы m членов — жесть короче ), но доказать существования решения хочется. Для этого напрашивается теорема о неявной функции (точнее для m=2 это было получено, а хочется обобщить для произвольного m), а для этого собственно надо показать невырожденность матрицы производных.

Сама матрица также получается из суммы дробей в количестве m штук со сложными числителями и знаменателями. Поэтому и проблематично считать в лоб или там искать собственные числа или A^n считать..
Вот диаганальное преобладание было хорошим шансом, но увы (
Может есть ещё что-то в этом духе?

Крутите дальше - система уравнений тоже имеет какой-то смысл и происхождение. Если система квадратная и не имеет решения - это "совершенно невероятно" и возможно только в случае наличия у исходной задачи какого-то интересного инвариантного свойства (либо в случае банальной ошибки).

[ConstOr]

Эта система нелинейная и бились об неё не раз. Так что про решение в явном виде можно забыть.
Нужно именно доказать существование решения и тут есть надежда, т.к. для m=2 (там тоже нет явного решения) получилось доказать по теореме о неявной функции

[alex1910]

Про решение в явном виде я ничего не говорил.
Я говорил, что если решения нет, то следует понять "почему нет".
Либо убедиться, что там нет места для "почему" - тогда решение обязано быть.

[ConstOr]

как-то это нестрого
Ну из логических и прочих соображений решение должно быть

[alex1910]

Дело не в строгости, а в том, что если Вы формальными методами докажете вырожденность матрицы, Вам, все равно, придется разбираться в причинах этого вырождения.

Это как в линейной алгебре - можно тупо манипулировать формулами в координатной записи, двойными суммами и прочее, а можно получать те же результаты из геометрического смысла объектов.

[ConstOr]

Я пытаюсь доказать невырожденность
Вырожденность как раз очень маловероятна