Куб суммы цифр равен квадрату числа

[Xenia1996]

Куб суммы
а) десятичных
б) $n\text{-ичных}>1\in\mathbb N$
цифр натурального числа равен квадрату самого числа.
Найти все такие числа.

[Lunatik]

Xenia1996 в сообщении #456357 писал(а):

Куб суммы
а) десятичных
б) $n\text{-ичных}>1\in\mathbb N$
цифр натурального числа равен квадрату самого числа.
Найти все такие числа.

Правильно ли я понимаю, что n-ричные цифры - это просто цифры, меньшие n?

[maxal]

a) см. A061209

[Lunatik]

maxal в сообщении #456406 писал(а):

a) см. A061209

Похоже, но тут куб суммы цифр равен самому числу, а надо, чтобы квадрату.
Напишу пока ответ к первой:
Допустим число трёхзначное. Максимальная сумма цифр - 27, максимальный куб - 19683, он равен квадрату числа, значит макс. число - $\sqrt 19683$ (около 140).
Замечаем, что если сумма цифр является кубом числа, то и само число является кубом (несмотря на квадрат). Таких немного: 1, 8, 27, 64, 125. Проверяем (на олимпиаде даже калькулятора не понадобится это проверить), получаем числа 1 и 27.
На счёт второго пункта, жду ответа на мой вопрос (что же такое n-ричные цифры )

[Xenia1996]

Lunatik в сообщении #456404 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #456357 писал(а):

Куб суммы
а) десятичных
б) $n\text{-ичных}>1\in\mathbb N$
цифр натурального числа равен квадрату самого числа.
Найти все такие числа.

Правильно ли я понимаю, что n-ричные цифры - это просто цифры, меньшие n?

Это цифры в позиционной системе счисления с натуральным основанием $n>1$.

[Lunatik]

Xenia1996 в сообщении #456420 писал(а):

Это цифры в позиционной системе счисления с натуральным основанием $n>1$.

А сами числа в позиционной системе счисления n?

[Lunatik]

Жду ответа...

[Xenia1996]

Lunatik в сообщении #456423 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #456420 писал(а):

Это цифры в позиционной системе счисления с натуральным основанием $n>1$.

А сами числа в позиционной системе счисления n?

(Оффтоп)

Само число не может быть или не быть в какой-либо системе. В системе может быть только запись этого числа. Например, число "десять" - это всегда число "десять", сиречь, число пальцев на обеих руках (об инвалидах умолчу). Если число "десять" записать в десятичной системе, получится "10", если в двоичной - "1010", в шестнадцатеричной - "А". Но само число всё равно остаётся числом "десять", просто записывается каждый раз иначе.

[Батороев]

Lunatik в сообщении #456407 писал(а):

maxal в сообщении #456406 писал(а):

a) см. A061209

Похоже, но тут куб суммы цифр равен самому числу, а надо, чтобы квадрату.
Напишу пока ответ к первой:
Допустим число трёхзначное. Максимальная сумма цифр - 27, максимальный куб - 19683, он равен квадрату числа, значит макс. число - $\sqrt 19683$ (около 140).

По-видимому, в этом месте можно было бы еще "поджать".
Максимальная сумма цифр чисел до $140$ равна $18$ (у числа $99$).
$\sqrt {18^3}=76,367...$
Максимальная сумма цифр чисел до $76$ равна $15$ (у числа $69$).
$\sqrt {15^3}=58,09...$

$\sqrt {13^3}=46,87...$
$\sqrt {12^3}=41,56...$

И лишь после того, как "зациклились", перейти к перебору.

[Lunatik]

Батороев в сообщении #456576 писал(а):

По-видимому, в этом месте можно было бы еще "поджать".
Максимальная сумма цифр чисел до $140$ равна $18$ (у числа $99$).
$\sqrt {18^3}=76,367...$
Максимальная сумма цифр чисел до $76$ равна $15$ (у числа $69$).
$\sqrt {15^3}=58,09...$

$\sqrt {13^3}=46,87...$
$\sqrt {12^3}=41,56...$

И лишь после того, как "зациклились", перейти к перебору.

Итак прокатило))) Теперь надо подумать, что же в других системах счисления...

[Xenia1996]

Lunatik в сообщении #456642 писал(а):

Итак прокатило))) Теперь надо подумать, что же в других системах счисления...

Для любого куба натурального числа найдётся система счисления, будучи записанным в которой, этот куб удовлетворяет условию задачи.

[Lunatik]

Xenia1996 в сообщении #456743 писал(а):

Для любого куба натурального числа найдётся система счисления, будучи записанным в которой, этот куб удовлетворяет условию задачи.

Доказательство?

[Xenia1996]

Lunatik в сообщении #456802 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #456743 писал(а):

Для любого куба натурального числа найдётся система счисления, будучи записанным в которой, этот куб удовлетворяет условию задачи.

Доказательство?

Подсказка:
Если число равно $n^3$, то нужно записать его в такой системе счисления, чтобы сумма цифр была $n^2$.
Например, если 64 записать в 49-ричной системе, получится [1][15] - сумма цифр равна 16.

[Lunatik]

Xenia1996 в сообщении #456804 писал(а):

Подсказка:
Если число равно $n^3$, то нужно записать его в такой системе счисления, чтобы сумма цифр была $n^2$.
Например, если 64 записать в 49-ричной системе, получится [1][15] - сумма цифр равна 16.

)))) Я подумал, что это решение и вы его написали, как очевидный факт... А доказывать тут особо нечего, берём систему по основанию $ n^3-n^2+1$ и всё получается...