Построение силовых линий магнитного поля

[SciSimba]

Здравствуйте!

Как можно построить линии поля на двумерной дискретной расчётной сетке, если известны величины компонент поля Bx и Bz в каждом узле. Известен производящий псевдоскаляр Ay.

[Morkonwen]

дурацкая не жизненная задача. известен либо векторный потенциал весь либо магнитное поле все, но чтобы часть того часть того? чушь какая то. используйте тот факт, что $\vec{B}=rot(\vec{A})$ замените производные конечными разностями. Получите три уравнения и три неизвестных ($B_y$, $A_x$ и $A_z$). зная поле магнитное поле во всех точках спокойно построите линии.

[SciSimba]

Вы меня не так поняли. Задача решается плоская. Есть только две компоненты магнитного поля $B_x$, $B_z$. Соответственно, вектор-потенциал имеет только одну компоненту $A_y$, то есть закон Фарадея превращается в адвекцию скаляра. Проще говоря -- известно всё сразу.

Вопрос именно в том: как построить на узлах силовые линии. Если бы у меня было известно сплошное поле, то можно было бы двигаться на малое расстояние $\delta \vec{x}$ в направлении поля, затем смотреть новые значения векторов и строить новый вектор перемещения, затем соединить точки. Даже это всё равно невозможно долго...
Но это ещё не самое страшное... Из-за того, что при перемещении с вероятностью 1 я не попадаю в узел, положение приходится интерполировать. В итоге: линии пересекаются и сливаются.

Есть ли алгоритм побыстрее и погрубее, чтобы можно было строить линии на узлах, а не на непрерывном поле? Известно поле и псевдоскаляр.

[Morkonwen]

Либо сетку мельче, либо линии с большим шагом. Я не думаю, что можно придумать что -то компенсируещее недостаток информации о поле. Можно поставить себе задачу строить непересекающиеся линии, но информации в них будет не больше - это будет обман.

[Александр Т.]

SciSimba в сообщении #455877 писал(а):

Здравствуйте!

Как можно построить линии поля на двумерной дискретной расчётной сетке, если известны величины компонент поля Bx и Bz в каждом узле. Известен производящий псевдоскаляр Ay.

Уравнение силовой линии (в данном случае) $A_y=\mathrm{const}$. Казалось бы, в чем проблема, если известно значение $A_y$ в каждом узле? Или я что-то не так понял?

[SciSimba]

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = B_x$ Соответственно, одна полуволна в Ay даст целую волну в Bx. То есть, силовая линия явно не является уровнем постоянного Ay.

*в каких-то случаях они, конечно, совпадают; однако, если точка перегиба Ay встречается, скажем, при положительном Ay, то линии не совпадают заведомо.

Хотя это и является сносным альтернативным вариантом...

[Morkonwen]

Всмысле ? какие полуволны? Александр Т. прав. Я только что сам понял. составтье $grad(A_y)\,\vec{dr}=0$ значит, что касательный вектор к линии перпендикулярен градиенту. это уравнение для линии постоянства $A_y$ перепешите через магнитное поле. И получите уравнения линий поля. $\frac{dx}{B_x}=\frac{dz}{B_z}$ знаки в роторе главное не перепутайть.

Проблема в том, что вряд ли составление линий поля таким способом вам поможет, поскольку такой алгоритм информации о поле не даст - получатся такие же линии или очень близкие.

[SciSimba]

Да, действительно так!
Спасибо! Ошибку отыскал!

В точках нулевой производной, где само Ay не равно нулю, поле вычисляется из разницы двух больших чисел, при том что само мало.

*Morkonwen спасибо за удачный совет, я не подумал даже выписать аналитику.

[Morkonwen]

Пожалуйста! Но наши рассуждения вам не особо помогут, поскольку алгоритм построения линии постоянной величины сложнее насколько я знаю и подразумевает поиск производных. Я вообще делал не так в одной программе. - рисовал не линии постоянства, а цветовую карту. больше значение $A_y$ - цвет точки ближе скажем к красному тот кто наблюдает карту без проблем поймет где линии постоянства, никаких пересечений не будет, да и сама карта очень приятная на взгляд.. Но чертится долго это да. Используйте QT - самая быстрая из известных мне по подобному прямому рисованию.