2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение08.06.2011, 21:39 


13/04/09
77
Помогите решить,

Надо доказать что для любого n найдется число с суммой цифр n которое делится на n

я так думаю, что число чисел, делящихся на n длины меньше $k$ есть $[10^k/n]$ , а число чисел с суммой цифр n длины меньше k есть $C_{n-1}^{k-1}$ отсюда для выполнения условия задачи достаточно чтобы для некоторого k выполнилось:
$10^k(1-1/n)<C_{n-1}^{k-1}$ т.е. число чисел с суммой цифр n было больше чем число чисел, не делящихся на n.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить
Сообщение08.06.2011, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Вряд ли это выполняется. Хотя бы на примере девятки. Количество чисел в любом диапазоне не делящихся на 9 приближённо в 8 раз больше чисел, сумма цифр которых равна 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить
Сообщение08.06.2011, 21:52 


13/04/09
77
а в каком направлении тогда хотя бы думать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить
Сообщение08.06.2011, 21:53 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
NiGHTeR,

заголовочек поадекватней поставьте, плииз, пока кнопка Правка активна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить
Сообщение08.06.2011, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Может быть попробовать как то построить число? Добавление нулей, например, не меняет сумму цифр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение08.06.2011, 22:38 


13/04/09
77
да, но прибавление нулей никак не меняет и делимости на какое либо число

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение08.06.2011, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Нули можно прибавлять и в середину.
Я бы попробовал построить такие числа. Для первого десятка всё тривиально. А вот для 11... Сумма всех цифр 11, а сумма цифр, стоящих на чётных позициях, должна быть равна сумме цифр на нечётных позициях или отличаться от неё на 11. Вот тут нули-то и пригодятся. Минимильное число 2090.
Ещё 1010101010101010101010
Для 12 — 48.
13 — 247
Ну вот пока больше идей нет :-(

Нужно какое-то специальное построение.

Или попробовать поанализировать числа, кратные $n$. Сумма цифр ассциируется с остатком от деления на 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение08.06.2011, 23:05 


13/04/09
77
ну в общем случае что то я не представляю как построить(

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение08.06.2011, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
там сложно. общий случай распадается на два: взаимно простых и нет.
Докажите для начала, что есть число из одних девяток, делящееся на 2011.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение08.06.2011, 23:17 


13/04/09
77
ну $10^{2010}-1$ делится на 2011

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение08.06.2011, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
О, здорово. Как доказывается, знаете?
Теперь точно так же докажите, что найдётся число вида 100...001, тоже делящееся на 2011.
И число вида 100...0000057483205674321 (цифры после нулей - от балды).
И вообще любое число, если в него напихать достаточно нулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение08.06.2011, 23:59 


13/04/09
77
ну да, то что $(x^p-1)=0(\mod p)$ при простом p

можно рассмотреть мультипликативную группу по модулю n
в ней $\varphi(n)+1$ элементов,
и если $(n,10)=1$ то 10 входит в эту группу, тогда если $(\varphi(n),n)=1$ то порядок 10 в этой группе ровно $\varphi(n)+1$ и тогда перебирая всевозможные степени 10 мы получаем различные остатки по модулю n?

-- Чт июн 09, 2011 01:07:23 --

условие $(\varphi(n),n)=1$не нужно

-- Чт июн 09, 2011 01:37:44 --

спасибо всем, решил)

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение09.06.2011, 06:59 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
gris в сообщении #455887 писал(а):
. А вот для 11... Сумма всех цифр 11, а сумма цифр, стоящих на чётных позициях, должна быть равна сумме цифр на нечётных позициях или отличаться от неё на 11. Вот тут нули-то и пригодятся. Минимильное число 2090.
А чем Вам 209 не угодило?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение09.06.2011, 07:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
VAL, а я... ах, да! Я же написал: "минимильное число". Это как бы минимальное, но большее тысячи. А Ваше число, к сожалению, не минимильно.

upd: убрал смайлик. Не было спички юмора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число с суммой цифр n делящееся на n
Сообщение09.06.2011, 07:29 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
NiGHTeR в сообщении #455925 писал(а):
ну да, то что $(x^p-1)=0(\mod p)$ при простом p
Только, все же, $x^{p-1}$.

-- 09 июн 2011, 07:43 --

gris в сообщении #455951 писал(а):
VAL, а я... ах, да! Я же написал: "минимильное число". Это как бы минимальное, но большее тысячи. А Ваше число, к сожалению, не минимильно :-)
Смайлик вижу. Но юмора, виноват, не понял :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group