две теор. задачи на ряды

[tavrik]

Всем привет.

1) пусть E - подмножество отрезка [0,1], которое выполняет следующее условие:
для любой последовательности $a_n$ из E - ряд $\sum{a_n}$ сходится(предполагается, что все члены $a_n$ отличны друг от друга).
доказать, что E - счетное множество :)

надо строить функцию(биекцию) из N в E и наборот. насколько я помню из дискретной матем.
неясно каким образом. каждому индексу $a_n$ сопоставить число?

2) доказать, что если $\sum{a_n}$ сходится и $b_n = a_n + a_{n+1} +...+a_{n!}$
то $b_n\rightarrow0$

ну, первый шаг из необходимого условия сходимости ряда - $a_n\rightarrow0$ ну а остальные слагаемые - сравнением? но не дано ни положительности рядов ничего. то есть какой то фокус с формулой $b_n$ надо проделать, скорее всего. выразить $a_n$ оттуда? И...

Спасибо

[ИСН]

Второе - критерий Коши в чистом виде.
Первое...
...да в общем, тоже он, но опосредованно.

[ewert]

tavrik в сообщении #455369 писал(а):

1) пусть E - подмножество отрезка [0,1], которое выполняет следующее условие:
для любой последовательности $a_n$ из E - ряд $\sum{a_n}$ сходится(предполагается, что все члены $a_n$ отличны друг от друга).
доказать, что E - счетное множество :)

Просто обратите внимание на то, что множество $E$ обязано не иметь ни одной предельной точки, кроме нуля (по необходимому условию сходимости). И, значит, все точки этого множества (кроме, возможно, нуля) -- изолированные.

[tavrik]

ну, со вторым, вроде разобрался. действительно - почти определение Коши.

а насчет первого - не очень.
такие понятия как предельная точка и точка разрыва мне, к сожалению, не знакомы.

[jetyb]

Представьте $E$ в виде объединения по $E_n=\{x\in E| x>\frac{1}{n}\}$.

[ewert]

tavrik в сообщении #455513 писал(а):

такие понятия как предельная точка

Предельная точка множества -- точка, сколь угодно близко от которой существуют точки этого множества (не совпадающие с данной).

Соответственно: точка множества не является предельной, если в некоторой её окрестности нет ни одной другой точки множества. Т.е. если эта точка изолирована.

Если бы у множества была хоть одна предельная точка, отличная от нуля, то это означало бы существование последовательности элементов множества, стремящейся не к нулю. Ряд, составленный из таких элементов, сходиться не может из-за нарушения необходимого условия. Следовательно, все точки множества, кроме нуля -- изолированы.

[tavrik]

ну, да. это и в википедии написано.
только каким образом этим воспользоватся - значит ли это, что все точки множества Е - рациональные дроби? или это не в ту степь

[ИСН]

При чём... Откуда...
Вы, tavrik, вообще понимаете смысл слов, или они напрасно скользят по поверхности форума, дабы исчезнуть в его тёмных глубинах? Множество - что бы это могло быть? Можете привести пример такого множества, которое подходит под условие? А такого, которое не подходит?

[tavrik]

ну,если отбросить колкости, то я думаю так:
любое конечное множество - подходит. потому что ряд сойдется.
из бесконечных подойдут все, стремящиеся к 0 со степенью выше единицы в знаменателе:
как E={$\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{256}...$}

??

[ИСН]

В моём понимании для конечных множеств вообще нельзя задать сам вопрос. Потому что из конечного множества нельзя выбрать бесконечную последовательность без повторов. (Сейчас кто-нибудь скажет, что условие этого и не предполагало, а поэтому логически применить его можно: для любой такой бесконечной последовательности... - какой любой, у нас же нету ни одной!? - хорошо, вот для любой из этих "ни одной"... Ну да это казуистика всё.)
Про бесконечные - ОК, значит, понимаете, но почему в таких терминах? Какая степень, чья? В каком нафиг знаменателе? Может, у меня первое число 3.14159265358979323846264338327950288 (там ещё дальше цифры) - у него какая степень в знаменателе? Рациональных-то никто не обещал.

-- Ср, 2011-06-08, 20:22 --

А, Вы имеете в виду "например, подойдут любые множества вида $\{{1\over a^n},\;n\in\mathbb N\}$, где $a>1$"? Ну да, подойдут.

[tavrik]

ну, в них(в иррациональных) и весь вопрос, нет

[Dan B-Yallay]

tavrik в сообщении #455835 писал(а):

ну, в них(в иррациональных) и весь вопрос, нет

jetyb в сообщении #455520 писал(а):

Представьте $E$ в виде объединения по $E_n=\{x\in E| x>\frac{1}{n}\}$.