Определитель целочисленной матрицы

[nemoart]

Вопрос собственно такой:
Чему равен определитель целочисленной невырожденной матрицы $A$, если матрица $A^{-1}$ также целочисленная.

Идея мне понятна, обратную матрицу можно найти через союзную матрицу $A^{*}$ таким способом:
$A^{-1}=\frac {A^{*}} {det(A)} $,
так если определитель $A$ отличен от $1$, то обратная не будет целочисленной.

Вот только как привести более красивое доказательство? Может где в литературе есть?

[nestoklon]

А на определитель целочисленной матрицы часом нет никаких ограничений которые помогают в решении?..

[nemoart]

nestoklon
Нет, я представил полную формулировку задачи.

[sup]

Определитель произведения равен ...

[ИСН]

Какое ещё более красивое? В определении определителя определяющий заопределялся нигде ничего не делят, значит - у целочисленной матрицы он будет целым числом. О, и у обратной - тоже. Много у нас таких целых чисел, обратные к которым - тоже целые?

[TOTAL]

nemoart в сообщении #455009 писал(а):

Идея мне понятна, обратную матрицу можно найти через союзную матрицу $A^{*}$ таким способом:
$A^{-1}=\frac {A^{*}} {det(A)} $,
так если определитель $A$ отличен от $1$, то обратная не будет целочисленной.

Вот только как привести более красивое доказательство?

Здесь нет даже некрасивого доказательства. Почему обратная не будет целочисленной, если определитель $A$ отличен от $1$?

[bot]

(поправка)

TOTAL в сообщении #455022 писал(а):

Почему обратная не будет целочисленной, если определитель A отличен от 1?

$-1=1$ или мы где?

[nestoklon]

nemoart в сообщении #455015 писал(а):

Нет, я представил полную формулировку задачи.

Я собственно пытался ненавязчиво намекнуть на то, что открытым текстом сформулировал ИСН. Перестарался с ненавязчивостью.

[nemoart]

Хорошо, я подумал, а что если так:
По определению $A^{-1}$:
$A A^{-1}=E$
тогда
$|A A^{-1}|=|E|=1$
Известно, что $|A B|=|A||B|$,
Следовательно
$|A||A^{-1}|=|E|=1 \Rightarrow |A^{-1}|=1/|A| \Rightarrow |A|=1 $, так как определитель целочисленной матрицы, есть целое число (Что и говорил ИСН). (Матрица $A$ и матрица $A^{-1} $ по формулировке целочисленные)

TOTAL в сообщении #455022 писал(а):

Здесь нет даже некрасивого доказательства. Почему обратная не будет целочисленной, если определитель отличен от ?

TOTAL
Потому что союзная матрица$A^{*}$ состоит из алгебраических дополнений транспонированной исходной матрицы $A$. В свою очередь, алгебраическое дополнение --- дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы $A$ путем вычёркивания $i$ -й строки и $j$ -го столбца. А он (определитель) также целое число. Следовательно союзная матрица $A^{*}$ целочисленная и при делении на определитель отличный от $0$ получим не целочисленную матрицу.

[nestoklon]

nemoart в сообщении #455114 писал(а):

Следовательно союзная матрица $A^{*}$ целочисленная и при делении на определитель отличный от $0$ получим не целочисленную матрицу.

Если разделить одно целое число на другое, то в принципе можно получить целое число (eg 6/3=2)

[nemoart]

nestoklon в сообщении #455120 писал(а):

Если разделить одно целое число на другое, то в принципе можно получить целое число (eg 6/3=2)

Это то, да... Но в общем случае не имеет место. Получается что вся матрица $A^{*}$ должна состоять из чисел делящихся на $|A|$ целочисленно ($a_{i,j} \equiv 0 \mod |A|$ ).
А нужно для произвольной матрицы $A$ рассматривать.

[ИСН]

Ну и что? Может, там закономерно для произвольной матрицы получится такая союзная матрица, которая вся состоит из чисел, делящихся нацело на определитель?
(Реально так не будет, но Вы этого не доказали!)

[nemoart]

ИСН в сообщении #455156 писал(а):

Ну и что? Может, там закономерно для произвольной матрицы получится такая союзная матрица, которая вся состоит из чисел, делящихся нацело на определитель?
(Реально так не будет, но Вы этого не доказали!)

Ну ладно, с этим может и так... со второй идей что скажете?

[ИСН]

C какой второй? Которая моя? С ней всё прекрасно.

[nemoart]

ИСН в сообщении #455179 писал(а):

C какой второй? Которая моя? С ней всё прекрасно.

ага... спасибо