К вопросу о размерностях...

[bayak]

type2b, когда Вы пишете:

type2b в сообщении #452360 писал(а):

По-моему, это патологическая деятельность

то имеете в виду деятельность физика или математика?

Кстати, эти размерности связаны с максимальным числом линейно независимых векторных полей нечётномерных сфер, а физика изучает простейшие формы движущейся материи, поэтому, если вдруг окажется, что материя движется по семимерной сфере, то патологическая деятельность математического физика может обратится в нормальную деятельность математического философа.

[lek]

type2b в сообщении #452360 писал(а):

По-моему, это патологическая деятельность.

А вот здесь я с вами согласиться не могу. Такой деятельностью в разные годы занимались весьма известные и уважаемые физики. Навскидку могу назвать Гюнайдина и Гюрши, Энглерта, Корригана, Харви и Строминжера, Дафа,... из более поздних, Acharya, Бака, Попова и Иванову. Чтобы не быть голословным, дам ссылку на пару известных работ:
Harvey J.A., Strominger A. Octonionic superstring solitons, Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 549-552;
Duff M.J., Evans J.M., Khuri R.R., Lu J.X., Minasian R. The octonionic membrane, Phys. Lett. B412 (1997) 281-287.

Не уверен, правда, что этот ответ вас удовлетворит. Ведь в число тех, кто занимается "патологической деятельностью" вы включили Атью

Впрочем, я вас понимаю. Молодости свойственна категоричность... Кроме того, обстоятельства часто заставляют "догонять трамвай, который стремительно уезжает...". И поэтому адекватно оценить что-то "не свое" порой очень трудно... Кстати, предупреждая вашу возможную реплику, замечу, что выше я не утверждал, что сам занимаюсь подобной деятельностью

[Bulinator]

lek в сообщении #452066 писал(а):

Для алгебры $\mathbb O$ ситуация несколько сложнее, но и там унитарная группа (а именно группа $SU(3)$) возникает естественным образом.

А как она возникает? Мне это очень интересно.

[type2b]

lek,
мне это напоминает рассуждения типа такого, что есть у нас функции синус, косинус, тангенс, котангенс, и вот они нам очень нравятся и мы будем медитировать, чтобы их сопоставить 4м взаимодействиям, и будем тут искать мистических прозрений. Я не против использования синусов в физике там, где они появляются, или рассуждений типа 'что будет, если тут вместо косинуса рассмотреть синус'. Если division algebras в каком-то случае оказываются чем-то полезны, пожалуйста. Но попытки из них выжать что-то фундаментальное мне не кажутся естественными.
Атия человек уже немолодой, и как многие великие ученые на склоне лет может позволить себе дать волю фантазии. Прибавьте к этому то, что он не физик. Я бы не стал на этот сюжет тратить свое время, но это лишь мое личное мнение :)

[lek]

Bulinator в сообщении #452834 писал(а):

А как она возникает? Мне это очень интересно.

Она возникает при исследовании автоморфизмов алгебры октав. Группой всех автоморфизмов этой алгебры является исключительная группа $G_2$. Рассмотрим только те автоморфизмы, которые оставляют неподвижным элементы подполя $\mathbb C \subset\mathbb O$. Очевидно, что все такие автоморфизмы образуют группу. Обозначим эту группу символом $G$ и рассмотрим ее действие на ортогональном дополнении $\mathbb C^{\perp}$. Очевидно, последнее можно считать трехмерным комплексным пространством. Ну и теперь остается один шаг - доказать изоморфизм $G\simeq SU(3)$.

Придать физический смысл этой конструкции пытались Гюнайдин и Гюрши в статье
Gunaydin M., Gursey F. Quark structure and octonions, J. Math. Phys. 14 (1973) 1651-1667.
Если интересно, могу выслать. Бросьте e-mail в личку.

[lek]

type2b в сообщении #452861 писал(а):

Я бы не стал на этот сюжет тратить свое время, но это лишь мое личное мнение :)

Ваша позиция понятна и она достойна уважения. Но мне, по ряду причин, ближе точка зрения Атия...

Да, хотел бы уточнить. Я отнюдь не пытаюсь вести речь о какой-либо "мистике чисел" или доказывать некую "универсальность" обсуждаемых математических конструкций. Мне просто подумалось, можно ли построить реальную физику, если отказаться от ассоциативности в сопутствующей математике? Отсюда и возникла эта тема...

[мат-ламер]

Чуть добавлю к своему предыдущему посту. Физические теории не объясняют нам, почему наше пространство трёхмерно, и почему дополнительные семь ( и почему именно ровно семь) измерений компактифицировались. Естественно предположить, что никакой компактификации нет. Дополнительные измерения тоже бесконечны. Просто они имеют совсем другое устройство. Они основаны на октавах Кели и наша обычная материя туда проникать не может, и поэтому мы эти измерения не чувствуем. Вот случайно натолкнулся на http://theorphys.phys.msu.ru/research/superstruny.html. Дословно цитирую - "Если раньше считалось, что дополнительные измерения должны быть компактными и иметь размеры порядка планковского, 10-33 см, то сейчас широко обсуждается другая возможность: четырехмерное пространство-время является гипербраной, движущейся в многомерном пространстве, причем «лишние» измерения (или хотя бы часть из них) не малы, а возможно и бесконечны. При этом обычная материя, описываемая стандартной моделью, живет только на гипербране, а гравитационное поле (а также некоторые его суперструнные партнеры) существует во всем многомерном пространстве". Правда я в этом не понимаю. Еслиб кто-нибудь прокомментировал популярно.

[bayak]

мат-ламер в сообщении #454884 писал(а):

Чуть добавлю к своему предыдущему посту. Физические теории не объясняют нам, почему наше пространство трёхмерно, и почему дополнительные семь ( и почему именно ровно семь) измерений компактифицировались. Естественно предположить, что никакой компактификации нет. Дополнительные измерения тоже бесконечны. Просто они имеют совсем другое устройство. Они основаны на октавах Кели и наша обычная материя туда проникать не может, и поэтому мы эти измерения не чувствуем.

Будет естественнее если предположить, что материя проникает и в дополнительные измерения. Можно даже представить себе такую картину, когда поток материи движется по многомерному компактному пространству, но слоение, ортогональное этому потоку, имеет три некомпактных измерения а остальные (дополнительные) компактны.

[lek]

мат-ламер в сообщении #454884 писал(а):

Если раньше считалось, что дополнительные измерения должны быть компактными и иметь размеры порядка планковского, 10-33 см, то сейчас широко обсуждается другая возможность...

Эта "другая возможность" обсуждается не от хорошей жизни. Подход, основанный на компактификации, основан на очень простой и логически стройной идее: получить все наблюдаемое многообразие частиц и их взаимодействий из многомерной теории гравитации (или супергравитации). Получаемые в этом случае уравнения движения для эффективной 4-мерной теории описывают набор массивных состояний с массами порядка $1/L$, где $L$ - характерный размер компактного "внутреннего" пространства. Если взять $L$ порядка планковской длины (что обычно и приходится делать, дабы иметь "ненаблюдаемость" дополнительных измерений ), то получаются массивные состояния с чрезвычайно большой планковской массой, которые можно наблюдать только на ранних стадиях возникновения вселенной. Это считается недостатком теории.

Одна из возможностей решить указанную проблему связана с использованием некомпактного "внутреннего" пространства. Например, используя пространства с так называемой "конической сингулярностью". Здесь мы действительно можем получить спектр частиц с потенциально наблюдаемыми массами. Однако построить реальную физику на этом пути пока не удается.

Другая возможность (локализация) основана на предположении о том, что в все частицы нашего мира локализованы на четырехмерном листе (3-бране) в многомерной вселенной и не могут его покинуть (как раз то, о чем говорится в предыдущем сообщении). Эта 3-брана и есть наблюдаемая часть мультивселенной. В таком подходе, действительно, требование компактификации дополнительных измерений не является необходимым. Но поскольку мы и наша техника состоим из обычных частиц, то воздействовать на дополнительное пространство мы не можем в принципе. И потому подобный подход не кажется конструктивным.

-- Вт июн 07, 2011 00:03:51 --

bayak в сообщении #454914 писал(а):

Будет естественнее если предположить, что материя проникает и в дополнительные измерения.

Обычно это и предполагается. Проблема заключается в том, как эти дополнительные измерения "не обнаружить"...

[bayak]

lek, а как в многомерной теории гравитации получаются физические состояния?

-- Вт июн 07, 2011 00:13:48 --

lek в сообщении #454925 писал(а):

Обычно это и предполагается. Проблема заключается в том, как эти дополнительные измерения "не обнаружить"...

Хорошо, а временнОе измерение разве обнаруживается, не компактифицированно ли и оно?

[lek]

Механизм спонтанной компактификации в теориях типа Калуцы-Клейна заключается в следующем. В $d$-мерном пространстве-времени $M$ рассматриваются уравнения, описывающие гравитационное поле, взаимодействующее с полями материи. Ищется вакуумное решение этих уравнений, отвечающее представлению $d$-мерного многообразия в виде $M=M_4\times K$, где $M_4$ - четырехмерное пространство-время (пространство де Ситтера, анти-де Ситтера или пространство Минковского), а $K$ - компактное многообразие, в качестве которого обычно выбирается пространство Эйнштейна (например, сфера). Представление многообразия $M$ в виде прямого произведения двух подпространств индуцирует блочно-диагональный вид вакуумной метрики

$$ g_{MN}=\begin{pmatrix} g_{\mu\nu}(x)&0\\0&g_{mn}(y)\end{pmatrix}, $$

где $g_{\mu\nu}(x)$ и $g_{mn}(y)$ - компоненты метрического тензора $g_{MN}$, определенные на подпространствах $M_4$ и $K$ соответственно. Обычно предполагается, что вакуумное решение должно быть в некотором смысле стабильным. Тогда, в окрестности этого решения, 3-форму калибровочного потенциала можно разложить по сферическим гармоникам (собственным функциям оператора массы)

$$ A_{mnp}(x,y)=\sum_{i}P_{i}(x)Y^{i}_{mnp}(y), $$

где коэффициенты разложения $P_{i}(x)$ интерпретируются как физические поля. Уравнения для эффективной 4-мерной теории получаются тогда интегрированием по $y$ и описывают бесконечный набор массивных состояний и конечный набор безмассовых состояний - нулевых мод. Если взять радиус сферы порядка планковской длины, то получаются массивные состояния с чрезвычайно большой планковской массой. Поэтому наблюдаемыми в этом подходе являются только безмассовые частицы.

-- Вт июн 07, 2011 00:31:34 --

bayak в сообщении #454937 писал(а):

Хорошо, а временнОе измерение разве обнаруживается, не компактифицированно ли и оно?

Может быть и компактифицированным. Это зависит от модели. Например, пространство анти-де Ситтера $AdS_4$ топологически изоморфно прямому произведению $\mathbb S^1\times\mathbb R^3$.

[Bulinator]

lek в сообщении #452877 писал(а):

Если интересно, могу выслать. Бросьте e-mail в личку.

Спасибо. Я сам ;)

lek в сообщении #451964 писал(а):

С доказательством теоремы Гурвица (теоремы Фробениуса или их аналогов) текст первого абзаца из сообщения топик-стартера никак не связан.

Ну... потому я и сослался на книгу Херстейна. Полистайте доказательство.

lek в сообщении #451964 писал(а):

Это физика чистой воды - материал из теории суперструн

Ага, теория суперструн- физика чистой воды! (ехидное, самодовольное выражение лица)

lek в сообщении #451964 писал(а):

И интересно как раз то, что такие разные объекты (суперструны и конечномерные композиционные алгебры) имеют неожиданное пересечение...

Я не струнщик и смутно представляю себе что такое теория струн вообще и струна в частности. Но есть научнопопулярная статься Ian Stewart, The missing link... в которой, на понятном уровне, указана связь октонионов и теории струн.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #454884 писал(а):

Правда я в этом не понимаю. Еслиб кто-нибудь прокомментировал популярно.

Там не совсем то, о чём вы говорите. Там кроме пространства вводится ещё физический объект в этом пространстве - брана - что-то типа мыльной плёнки, и ещё один физический закон, что все объекты "прилипают" к этой плёнке, не могут от неё оторваться или из неё вырваться. Все кроме гравитонов. Этот объект и закон ничем не обоснованы и просто из пальца высосаны, чтобы подогнать теорию к наблюдениям.

[bayak]

lek в сообщении #454945 писал(а):

Механизм спонтанной компактификации в теориях типа Калуцы-Клейна заключается в следующем...

Насколько я понял, уравнения многомерной гравитации строятся по аналогии с уравнением Эйнштейна-Гильберта, и постулируется, что самым устойчивым (вакуумным) решением является решение в виде прямого произведения пустого пространства-времени на компакт. Но похоже, что в теории отсутствует интегральный (глобальный) принцип (условие) устойчивости решения и нет увязки осбенностей решения с частицами. Что касается физических полей, то не могли бы Вы пояснить, что такое суть 3-формы калибровочного потенциала.

[lek]

bayak в сообщении #455404 писал(а):

Насколько я понял, уравнения многомерной гравитации строятся по аналогии с уравнением Эйнштейна-Гильберта

Если ограничиться многомерной гравитацией, то да. В случае же $d=11$ супергравитации дополнительно появляются уравнения для полностью антисимметричного тензорного поля $F_{mnpq}=\partial_{[q}A_{mnp]}$.

bayak в сообщении #455404 писал(а):

постулируется, что самым устойчивым (вакуумным) решением является решение в виде прямого произведения пустого пространства-времени на компакт. Но похоже, что в теории отсутствует интегральный (глобальный) принцип (условие) устойчивости решения и нет увязки осбенностей решения с частицами.

Точнее говоря, считается, что вакуумное состояние является прямым произведением $M_4\times K$. Разумеется, физические флуктации необязательно будут подчиняться той же форме прямого произведения, что и вакуумная конфигурация, но, как и во многих других областях физики, понимание основного состояния является ключом к пониманию низкоэнергетических возбуждений.

bayak в сообщении #455404 писал(а):

...что такое суть 3-формы калибровочного потенциала

3-форма калибровочного потенциала $A_{mnp}$ возникает в 11-мерной супергравитации наряду с метрикой (и майорановским гравитино). Других полей в этой теории нет. Если же говорить о произвольной теории Калуцы-Клейна, то вместо $A_{mnp}$ надо рассматривать произвольный набор материальных полей $\Phi(x,y)$. Интересно, что материальное поле $A_{mnp}$ можно отождествить с кручением (если подходящим образом деформировать риманову связность) и поэтому бозонный сектор 11-мерной супергравитации можно рассматривать как чистую гравитацию с кручением.