Помогите найти экстремали функционала

[snva]

Задание
$v(y(x)) = int_0^{x_1}(\sqrt{1+(y')^2}/y)dx$, если
$y(0) = 0$
$y(x_1) = x_1 - 10$


$F_y = - \sqrt{1+(y')^2}/y^2$

$F_{y'} = y'/(y\sqrt{1+(y')^2})$

Незнаю как найти $d/dx F_{y'} = $

[Joker_vD]

$$\frac{d}{dx}G(x,y(x),y'(x)) = G_x(x,y(x),y'(x)) + y'(x)G_y(x,y(x),y'(x)) + y''(x)G_{y'}(x,y(x),y'(x)).$$

(Оффтоп)

Что меня всегда убивало во всех курсах, где встречались функционалы, в т.ч. и в курсе вариационного исчисления, так это опускание аргументов. Сиди, думай, что это там — функция $y'(x)$, которая производная от функции $y(x)$, или просто аргумент решили обозначить как $y'$, и он отношения к соседнему $y$ никакого не имеет. Это особенно пикантно на фоне непрекращающихся $\left.\dfrac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}$...

[snva]

Спасибо за ответ, но что-то до меня все равно не доходит как найти $d/dx$ от $F_{y'}$

[Joker_vD]

Напишите $\frac{\partial}{\partial x}F_{y'}$ — получится ноль, потому что в выражение $F_{y'}(x,y,y')$ икс не входит, так как игрек там — не функция, а просто буква. $\frac{\partial}{\partial y}F_{y}$ будет равно $\frac{-y'}{y^2\sqrt{(1+(y')^2)}}$. Опять же, здесь игрек со штрихом — просто буква, с просто игреком она никак не связана. Ну и $\frac{\partial}{\partial yэ}F_{y'}$ равно $\frac{1}{y\sqrt{1+(y')^2}^3}$. Вот.

Теперь домножаете слагаемые на $1,y'(x),y''(x)$ соответственно, складываете, приписываете после игреков скобки с иксами, упрощаете и... вот ваша производная. Шизофренично, но что поделаешь.

Да, и вдогонку: так как $F(x,y,y')$ у вас от икса не зависит, уравнение Эйлера будет иметь первый интеграл. Просто домножьте левую часть на $y'(x)$ и убедитесь, что там получается $\frac{d}{dx}(F-y'F_{y'})$.