Белые и чёрные подмножества

[Xenia1996]

Все подмножества непустого конечного множества $S$ изначально были чёрными.
Затем некоторые из них покрасили в белый цвет так, что для любых двух белых подмножеств $A$ и $B$ (не обязательно различных) $\overline{A\cup B}$ - тоже белое.

а) Доказать, что для любых двух белых подмножеств $A$ и $B$ (не обязательно различных) $A\cup B$ - тоже белое.
б) Какого цвета может быть пустое подмножество? А само множество $S$?
в) Что можно сказать о чётности числа белых подмножеств? Каково минимальное число белых подмножеств, если есть хотя бы одно белое подмножество? А если есть хотя бы одно белое непустое собственное подмножество?

[Xenia1996]

Задача, я так понимаю, никому не интересна

[Xenia1996]

Xenia1996 в сообщении #454260 писал(а):

Все подмножества непустого конечного множества $S$ изначально были чёрными.
Затем некоторые из них покрасили в белый цвет...

Небольшое пояснение к условию:
Красятся не элементы подмножеств, а сами подмножества!

[zhekas]

Xenia1996 в сообщении #454260 писал(а):

Все подмножества непустого конечного множества $S$ изначально были чёрными.
Затем некоторые из них покрасили в белый цвет так, что для любых двух белых подмножеств $A$ и $B$ (не обязательно различных) $\overline{A\cup B}$ - тоже белое.

а) Доказать, что для любых двух белых подмножеств $A$ и $B$ (не обязательно различных) $A\cup B$ - тоже белое.
б) Какого цвета может быть пустое подмножество? А само множество $S$?
в) Что можно сказать о чётности числа белых подмножеств? Каково минимальное число белых подмножеств, если есть хотя бы одно белое подмножество? А если есть хотя бы одно белое непустое собственное подмножество?

а) Возьмём два белых подмножества $A$ и $B$, для них подмножество $\overline{A\cup B}$ - белое. Тогда для двух подмножеств $\overline{A\cup B}$ и $\overline{A\cup B}$ подмножество $\overline{\overline{A\cup B}\cup\overline{A\cup B}}$=A\cup B тоже белое

б) если $A$ -белое, то $\overline{A\cup A}=\overline{A}$ - тоже белое, тогда $\overline{A\cup\overline{A}}=\emptyset$ - тоже белое. Ну и $\overline{\emptyset\cup\emptyset}=S$ - тоже белое.

в) Для каждого белого подмножества $A$ подмножество $\overline{A}$ - тоже белое. Поэтому число белых подмножеств чётно.
минимально 2 белых подмножества: $\emptyset$ и $S$.
ну и на последний вопрс: 4 белых подмножества. $\emptyset$, $S$, $A$ и $\overline{A}$

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #454432 писал(а):

а) Возьмём два белых подмножества $A$ и $B$, для них подмножество $\overline{A\cup B}$ - белое. Тогда для двух подмножеств $\overline{A\cup B}$ и $\overline{A\cup B}$ подмножество $\overline{\overline{A\cup B}\cup\overline{A\cup B}}$=A\cup B тоже белое

б) если $A$ -белое, то $\overline{A\cup A}=\overline{A}$ - тоже белое, тогда $\overline{A\cup\overline{A}}=\emptyset$ - тоже белое. Ну и $\overline{\emptyset\cup\emptyset}=S$ - тоже белое.

в) Для каждого белого подмножества $A$ подмножество $\overline{A}$ - тоже белое. Поэтому число белых подмножеств чётно.
минимально 2 белых подмножества: $\emptyset$ и $S$.
ну и на последний вопрс: 4 белых подмножества. $\emptyset$, $S$, $A$ и $\overline{A}$

Вот и мне эта задача показалась уж чересчур простой. И появление её на всесоюзной олимпиаде может быть оправдано лишь тем, что многим школьникам доводится испытывать трудности с освоением формального языка теории множеств и математической логики.
В оригинале задача выглядит вообще смешно (с точки зрения её простоты):
http://problems.ru/view_problem_details ... ?id=109909

Но я попыталась сделать лимонад из лимона, который мне попался. Получилось сносное ситро
Кстати, "ситро" - это и есть "лимон" по-французски (звук "n" на конце не произносится). Так что, он самый и получился...