2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 m^2*x^4+n^2*y^4=z^2
Сообщение03.06.2011, 22:08 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
То же самое почти: $m^2x^4+n^2y^4=z^2$
Но только $m^2+n^2$ - полный квадрат и это достаточное условие.
Вопрос 2. Найти необходимые и достаточные условия для $m,n$, чтобы "уравение" решалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2*x^4+n^2*y^4=z^2
Сообщение03.06.2011, 22:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Это ж откуда такое блумбожище :? :shock:
Одно из решений:

$\begin{cases}
x=4p^3q-4mpq^3\\
y=p^2+mq^2\\
z=2p^8-8mp^6q^2+44m^2p^4q^4-8m^3p^2q^6+2m^4q^8\\
n=2p^4-12mp^2q^2+2m^2q^4
\end{cases}$

И тут ещё надо добиться чтобы

$2p^4-24utp^2q^2+8u^2t^2q^4=u^2-t^2$

(это условие, чтобы $m^2+n^2$ было квадратом). Но т.к. числа $p,q,u,t$ - любые, то добиться думаю можно.

-- Сб июн 04, 2011 00:40:47 --

Ну самое элементарное решение, это $p=2$, $q=1$. Для них находим $u=6$, $t=2$, что даёт:
$\begin{cases}
24^2\cdot160^4+32^2\cdot28^4=614912^2\\
24^2+32^2=40^2
\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2*x^4+n^2*y^4=z^2
Сообщение04.06.2011, 15:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
scwec в сообщении #453762 писал(а):
То же самое почти: $m^2x^4+n^2y^4=z^2$
Но только $m^2+n^2$ - полный квадрат и это достаточное условие.
Вопрос 2. Найти необходимые и достаточные условия для $m,n$, чтобы "уравение" решалось.

Критерий разрешимости: число $S=2mn$ конгруэнтно. Если $m^2+n^2$ --- точный квадрат, то $S=2mn$ конгруэнтно, а значит, уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах $x$, $y$, $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2*x^4+n^2*y^4=z^2
Сообщение04.06.2011, 16:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov
Интересно. :? А если бы было: $m^2x^4+n^2y^4=z^4$ и
$m^2+n^2$ - полный квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2*x^4+n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 10:38 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Ответ nnosipov точный и исчерпывающий, хоть и без доказательства. Для меня оно и не нужно,
но может, кому-нибудь будет интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2*x^4+n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 12:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
scwec
В приведённом мной решении $n=2p^4-12mp^2q^2+2m^2q^4$. Тогда $m^2+n^2$ абсолютно не обязано быть квадратом, чтобы уравнение "решалось". :?

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2*x^4+n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 12:53 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
age, Вы правы, конечно, не обязательно, чтобы $m^2+n^2$ было квадратом, чтобы "уравнение" решалось. Никакого противоречия тут нет.
Для решения необходимо и достаточно, чтобы $2mn$ было конгруэнтным числом.
А $m^2+n^2$ = полный квадрат - это достаточное условие.
Решение Ваше пока не проверял. Может, позже.
Но вполне доверяю Вам. Скорей всего оно верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2*x^4+n^2*y^4=z^2
Сообщение05.06.2011, 13:23 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
scwec в сообщении #454290 писал(а):
Для решения необходимо и достаточно, чтобы $2mn$ было конгруэнтным числом.
Понятно. :?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group