m^2*x^4+n^2*y^4=z^2

[scwec]

То же самое почти: $m^2x^4+n^2y^4=z^2$
Но только $m^2+n^2$ - полный квадрат и это достаточное условие.
Вопрос 2. Найти необходимые и достаточные условия для $m,n$, чтобы "уравение" решалось.

[age]

Это ж откуда такое блумбожище
Одно из решений:

$\begin{cases} x=4p^3q-4mpq^3\\ y=p^2+mq^2\\ z=2p^8-8mp^6q^2+44m^2p^4q^4-8m^3p^2q^6+2m^4q^8\\ n=2p^4-12mp^2q^2+2m^2q^4 \end{cases}$

И тут ещё надо добиться чтобы

$2p^4-24utp^2q^2+8u^2t^2q^4=u^2-t^2$

(это условие, чтобы $m^2+n^2$ было квадратом). Но т.к. числа $p,q,u,t$ - любые, то добиться думаю можно.

-- Сб июн 04, 2011 00:40:47 --

Ну самое элементарное решение, это $p=2$, $q=1$. Для них находим $u=6$, $t=2$, что даёт:
$\begin{cases} 24^2\cdot160^4+32^2\cdot28^4=614912^2\\ 24^2+32^2=40^2 \end{cases}$

[nnosipov]

scwec в сообщении #453762 писал(а):

То же самое почти: $m^2x^4+n^2y^4=z^2$
Но только $m^2+n^2$ - полный квадрат и это достаточное условие.
Вопрос 2. Найти необходимые и достаточные условия для $m,n$, чтобы "уравение" решалось.

Критерий разрешимости: число $S=2mn$ конгруэнтно. Если $m^2+n^2$ --- точный квадрат, то $S=2mn$ конгруэнтно, а значит, уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах $x$, $y$, $z$.

[age]

nnosipov
Интересно. А если бы было: $m^2x^4+n^2y^4=z^4$ и
$m^2+n^2$ - полный квадрат.

[scwec]

Ответ nnosipov точный и исчерпывающий, хоть и без доказательства. Для меня оно и не нужно,
но может, кому-нибудь будет интересно.

[age]

scwec
В приведённом мной решении $n=2p^4-12mp^2q^2+2m^2q^4$. Тогда $m^2+n^2$ абсолютно не обязано быть квадратом, чтобы уравнение "решалось".

[scwec]

age, Вы правы, конечно, не обязательно, чтобы $m^2+n^2$ было квадратом, чтобы "уравнение" решалось. Никакого противоречия тут нет.
Для решения необходимо и достаточно, чтобы $2mn$ было конгруэнтным числом.
А $m^2+n^2$ = полный квадрат - это достаточное условие.
Решение Ваше пока не проверял. Может, позже.
Но вполне доверяю Вам. Скорей всего оно верно.

[age]

scwec в сообщении #454290 писал(а):

Для решения необходимо и достаточно, чтобы $2mn$ было конгруэнтным числом.

Понятно.